Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 4.2 - Ex. 8
Seja o operador linear do tal que e
- Determinar ;
- Determinar tal que ;
- Provar que é sobrejetor e injetor (bijetor).
Passo 1
Mais uma questão com algumas letras! Vamos começar devagar. Uma letra por vez!
Na letra a) precisamos calcular . Será que precisaremos determinar a lei por trás do operador para depois calcular quando e ?
Bom, esta é definitivamente uma opção. Mas, para esta letra, não é necessário. Podemos resolver ela aplicando as propriedades de um operador linear. Para isto, basta vocês perceberem que:
Então, sabendo que e , temos:
E assim finalizamos a letra a)!
Passo 2
Agora, vamos partir para a letra b). Ela nos pede para determinar tal que .
Podemos repetir um procedimento semelhante ao que foi repetido no paço anterior. Só que ao invés de multiplicarmos os vetores por 2 e 4, respectivamente, iríamos multiplicar por e , e assim descobrir estas incógnitas para depois descobrir o vetor original.
Mas, vamos fazer algo diferente, que inclusive irá nos ajudar na resolução da letra c). Isto é, vamos descobrir a lei por trás do operador .
Para isto, vamos ter de escrever o vetor como combinação linear de . Então, temos que descobrir e tal que:
Então, facilmente, temos que e . Portanto, o nosso operador é:
Então, queremos descobrir os valores de e tais que:
Então, basta resolver o seguinte sistema:
Resolvendo o sistema, obtemos que e . Assim, resolvemos a letra b).
Passo 3
Para finalizarmos a questão, vamos mostrar que a aplicação é bijetora. Então, temos que dividir a análise em duas partes: chegar se é injetora e depois checar se ela é bijetora.
Para checarmos que ela é injetora, basta verificar que o núcleo é o conjunto vazio. Isto é, . Mas o que é o núcleo? Ele é o conjunto dos vetores tais que .
Então, basta resolvermos:
Estão vendo agora o motivo de encontrarmos a lei do operador ? Então, vamos resolver o seguinte sistema:
Como a solução do sistema acima é , isto significa que , e assim provamos que o operador é uma operação injetora.
Passo 4
Só nos resta provarmos que é sobrejetora. Isto seria facilmente realizado se utilizarmos o teorema do núcleo e imagem para verificar que (de uma certa forma, resolvemos agora esta letra).
Mas bom, vamos fazer de uma forma diferente?
Vamos obter vetores diretores para a nossa imagem . Isto é, vamos montar uma base para o espaço da imagem, e depois checaremos a dimensão desta base.
Ao verificarmos que a base tem a mesma dimensão do espaço , a qual é 2, estaremos confirmando que é uma operação sobrejetora.
Então, vamos obter agora a base para a nossa imagem. Logo,
Então, como e são LI, uma base para a imagem é . Como a base tem dois vetores, sua dimensão é 2. Assim, concluímos que é sobrejetora.
Por fim, como é sobrejetora e injetora, dizemos que ela é bijetora!
Resposta
- ;
- .