Enunciado

Verifique se o vetor U e combinação linear (soma de múltiplos escalares) de V e W:

  1. V = (9, −12, −6), W = (−1, 7, 1) e U = (−4, −6, 2);
  2. V = (5, 4, −3), W = (2, 1, 1) e U = (−3, −4, 1).

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de geometria analítica.

Para responder ao questionamento do enunciado, usaremos a escrita de U por combinação linear de V e W:

U = x V + y W ,   c o m   x   e   y   s e n d o   e s c a l a r e s

Item a

A partir da equação acima iremos substituir os valores das coordenadas de U, V e W, para escrevermos um sistema de equações em x e y:

9 x - y = - 4 - 12 x + 7 y = - 6 - 6 x + y = 2

Escalonando o sistema eliminaremos a variável x das equações II e III a partir das seguintes operações:

3 I I + 4 I :   - 36 x + 21 y = - 18 36 x - 4 y = - 16 = > 17 y = - 34 = > y = - 2

3 I I I + 2 I :   - 18 x + 3 y = 6 18 x - 2 y = - 8 = > y = - 2

Passo 2

Reescrevendo o sistema temos:

9 x - y = - 4 17 y = - 34 y = - 2

As equações II e II são equivalentes, e dessa forma temos um sistema escalonado reescrito da seguinte forma (Fazendo a equação III – II):

9 x - y = - 4 y = - 2 0 = 0

Como y = -2, substituímos o seu valor na equação I para obtermos o valor de x:

9 x - - 2 = - 4 = > 9 x = - 4 - 2 = > x = - 6 9 = - 2 3

Logo, a combinação linear pedida é dada por:

U = - 2 3 V - 2 W

Resposta

U = - 2 3 V - 2 W .

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