O vetor v → é ortogonal aos vetores a → = ( 1 ,   2 ,   0 ) e b → = ( 1 ,   4 ,   3 ) e forma ângulo agudo com o eixo dos x . Determinar v → , sabendo que v → = 14 .

Passo 1

Vamos chamar nosso vetor v → = ( x ,   y ,   z ) .

Se v → é ortogonal a a → e b → , temos

v → . a → = 0

x ,   y ,   z . 1 ,   2 ,   0 = 0

x + 2 y = 0   ( I )

E:

v → . b → = 0

x ,   y ,   z . 1 ,   4 ,   3 = 0

x + 4 y + 3 z = 0   ( I I )

Como o módulo de v → é 14 , temos

v → = x 2 + y 2 + z 2 = 14

x 2 + y 2 + z 2 = 196   ( I I I )

Passo 2

De ( I ) , temos que

x = - 2 y

Substituindo em ( I I ) , temos

- 2 y + 4 y + 3 z = 0

z = - 2 y 3

Substituindo essas relações em ( I I I ) :

- 2 y 2 + y 2 + - 2 y 3 2 = 196

4 y 2 + y 2 + 4 y 2 9 = 196

36 y 2 9 + 9 y 2 9 + 4 y 2 9 = 196

E daí temos

y ' = 6

y ' ' = - 6

Então

x ' = - 12         x ' ' = 12

z ' = - 4           z ' ' = 4

Passo 3

Beleza, então temos duas opções para v → :

v → ' = ( - 12 ,   6 ,   - 4 )

v → ' ' = ( 12 ,   - 6 ,   4 )

Masss, o enunciado fala que o vetor v → tem um ângulo agudo com o eixo dos x , ou seja, o produto escalar v → . ( 1 ,   0 ,   0 ) deve ser positivo. Vamos testar para os dois vetores que encontramos:

v → ' . 1 ,   0 ,   0 = - 12

v → ' ' . 1 ,   0 ,   0 = 12

Como nosso produto escalar deu positivo apenas para v → ' ' = ( 12 ,   - 6 ,   4 ) , esse é o vetor procurado :)

Resposta

v → = ( 12 ,   - 6 ,   4 )

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