Se

c = a b + | b | a

Onde a , b ,   c são vetores não nulos, mostre que c é a bissetriz do ângulo entre a e b .

Passo 1

Se c é a bissetriz do ângulo entre a e b então significa que o vetor c divide o ângulo entre a e b no meio.

Vamos imaginar que c divide o ângulo entre a e b em dois ângulos que vamos chamar de α e β . Nosso objetivo é provar que α = β , beleza?

Passo 2

Sabemos que ângulo entre dois vetores pode ser calculado por

cos ⁡ θ = d → ∙ v → d v  

Assim, podemos dizer que

cos ⁡ α = a ∙ c a c  

E

cos ⁡ β = b ∙ c b c  

Calculando os produtos escalares:

a ∙ c = a ∙ a b + b a = a a b + b a 2

b ∙ c = b ∙ a b + b a = a b 2 + b a b

Passo 3

Substituindo tudo nas formulas:

cos ⁡ α = a ∙ c a c = a a b + b a 2 a c = a a b + b a 2 a c = a b + b a c

E

cos ⁡ β = b ∙ c b c = a b 2 + b a b b c = a b 2 + b a b b c = a b + a b c

Assim, temos que

cos ⁡ α = cos ⁡ β

Além disso,

0 ≤ α ≤ 180 °

E

0 ≤ β ≤ 180 °

Então

α = β

Como queríamos provar, logo, c é a bissetriz do ângulo entre a e b .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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