Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 12.3 - Ex. 54
Se , e , mostre que a equação vetorial
Representa uma esfera e determine seu centro e raio.
Passo 1
Temos a equação
E de cara já podemos ver que esses dois vetores são perpendiculares, pois o produto escalar entre eles é nulo.
Mas vamos simplesmente desenvolver esse produto escalar e ver no que dá.
Passo 2
Ficamos com uma equação que tem termos lineares e termos quadráticos tanto em quanto em quanto em . Isso significa que podemos completar quadrados para todo mundo.
Organizando melhor nossa equação, temos:
Completando quadrados:
De um lado dessa equação já da pra gente ver o centro da esfera, que é
Agora vamos olhar pro outro lado pra gente identificar o raio.
Passo 3
Para isso, vamos desenvolver só a parte dos termos que tem e porque os outros vão ser iguais, beleza?
E é tudo muito grande, fazendo um só a gente economiza conta haha
Temos:
Show de bola?
O mesmo vale para os outros termos, então teremos:
E
Passo 4
Substituindo na expressão do passo 2:
Que é a equação de uma esfera com centro em
Conforme já tínhamos visto e raio
Resposta
Centro
Raio