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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 12.3 - Ex. 54

Se r = ( x , y , z ) , a = ( a 1 , a 2 , a 3 ) e b = b 1 , b 2 , b 3 , mostre que a equação vetorial

r - a ∙ r - b = 0

Representa uma esfera e determine seu centro e raio.

Passo 1

Temos a equação

r - a ∙ r - b = 0

E de cara já podemos ver que esses dois vetores são perpendiculares, pois o produto escalar entre eles é nulo.

Mas vamos simplesmente desenvolver esse produto escalar e ver no que dá.

r - a ∙ r - b = 0

r ∙ r - b ∙ r - a ∙ r + a ∙ b = 0

( x , y , z ) ∙ ( x , y , z ) - b 1 , b 2 , b 3 ∙ ( x , y , z ) - ( a 1 , a 2 , a 3 ) ∙ ( x , y , z ) + ( a 1 , a 2 , a 3 ) ∙ b 1 , b 2 , b 3 = 0

x 2 + y 2 + z 2 - b 1 x - b 2 y - b 3 z - a 1 x - a 2 y - a 3 z + a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 = 0

Passo 2

Ficamos com uma equação que tem termos lineares e termos quadráticos tanto em x quanto em y quanto em z . Isso significa que podemos completar quadrados para todo mundo.

Organizando melhor nossa equação, temos:

x 2 + y 2 + z 2 - b 1 x - b 2 y - b 3 z - a 1 x - a 2 y - a 3 z + a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 = 0

x 2 - a 1 + b 1 x + y 2 - a 2 + b 2 y + z 2 - a 3 + b 3 z + a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 = 0

Completando quadrados:

x - a 1 + b 1 2 2 + y - a 2 + b 2 2 2 + z - a 3 + b 3 2 2 = - a 1 b 1 - a 2 b 2 - a 3 b 3 + a 1 + b 1 2 2 + a 2 + b 2 2 2 + a 3 + b 3 2 2

De um lado dessa equação já da pra gente ver o centro da esfera, que é

a 1 + b 1 2 , a 2 + b 2 2 , a 3 + b 3 2

Agora vamos olhar pro outro lado pra gente identificar o raio.

Passo 3

Para isso, vamos desenvolver só a parte dos termos que tem a 1 e b 1 porque os outros vão ser iguais, beleza?

E é tudo muito grande, fazendo um só a gente economiza conta haha

Temos:

- a 1 b 1 + a 1 + b 1 2 2 = - a 1 b 1 + a 1 2 + 2 a 1 b 1 + b 1 2 4 = a 1 2 - 2 a 1 b 1 + b 1 2 4 = a 1 - b 1 2 2

Show de bola?

O mesmo vale para os outros termos, então teremos:

- a 2 b 2 + a 2 + b 2 2 2 = a 2 - b 2 2 2

E

- a 3 b 3 + a 3 + b 3 2 2 = a 3 - b 3 2 2

Passo 4

Substituindo na expressão do passo 2:

x - a 1 + b 1 2 2 + y - a 2 + b 2 2 2 + z - a 3 + b 3 2 2 = a 1 - b 1 2 2 + a 2 - b 2 2 2 + a 3 - b 3 2 2

Que é a equação de uma esfera com centro em

a 1 + b 1 2 , a 2 + b 2 2 , a 3 + b 3 2

Conforme já tínhamos visto e raio

a 1 - b 1 2 2 + a 2 - b 2 2 2 + a 3 - b 3 2 2

Resposta

Centro

a 1 + b 1 2 , a 2 + b 2 2 , a 3 + b 3 2

Raio

a 1 - b 1 2 2 + a 2 - b 2 2 2 + a 3 - b 3 2 2

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