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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle - Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 3.Problemas Propostos - Ex. 57a

Calcular a área do triângulo de vértices

  1. A (- 1 , 0 , 2) , B = (- 4 , 1 , 1) e C ( 0 , 1 , 3 )

Passo 1

a) A (- 1 , 0 , 2) , B = (- 4 , 1 , 1) e C ( 0 , 1 , 3 )

Nosso desafio agora é calcular a área do triângulo de vértices A (- 1 , 0 , 2) , B = (- 4 , 1 , 1) e C ( 0 , 1 , 3 ) . Vamos lá?

Passo 2

A área do triângulo é dada pela fórmula |(vec A B xx vec A C)/(2)| , certo?

Precisamos primeiro então, achar os nossos vetores vec A B e vec A C :

vec A B = B - A = (- 4 , 1 , 1) - (- 1 , 0 , 2) = (- 3 , 1 , - 1)

vec A C = C - A = (0 , 1 , 3) - ( - 1 , 0 , 2 ) = ( 1 , 1 , 1 )

Passo 3

Agora, fazendo o produto vetorial, temos:

vec A B xx vec A C = |[[vec i,vec j,vec k],[-,3,1,-,1],[1,1,1]]| = vec i - vec j - 3 vec k - (- 3 vec j - vec i + vec k) = 2 vec i + 2 vec j - 4 vec k = ( 2 , 2 , 4 )

Passo 4

Por fim, calculando o módulo e dividindo por 2, temos:

|vec A B xx vec A C| = sqrt(2^2 + 2^2 + (- 4)^2) = sqrt(24) = 2 sqrt(6)

Á r e a d o t r i â n g u l o = (|vec A B xx vec A C|)/(2) = (2 sqrt(6))/(2) = sqrt(6) u . a .

Resposta

sqrt(6) u.a.

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Demonstre e interprete geometricamente as relações:a) u → ∧ v → ≤ u → v → b) u → ∧ v → = u → v → ⇔ u → ⊥ v →
A medida angular entre os vetores a → e b → é 60 ° , e suas normar são, respectivamente, 1 e 2 . Sendo u → = a → + b → e v → = a → - b → , calcule a norma de u → ∧ v → .
Calcule 2 u → - 3 v → + w → ∧ - 6 u → + 3 v → - 3 w → .
Prove que, qualquer que seja o vetor vec v , ‖vec v ^^ vec i‖^2 + ‖vec v ^^ vec j‖^2 + ‖vec v ^^ vec k‖^2 = 2 ‖vec v‖^2 .
Determine x → tal que x → ∧ i → + k → = 2( i → + j → - k → ) e x → = 6 .