Mostre que, se V = W 1 ⊕ W 2 e α = { v 1 , … , v k } é a base de W 1 , β = { w 1 , … , w r } é a base de W 2 então γ = { v 1 , … , v k , w 1 , … , w r } é base de V .Mostre com um exemplo que o resultado não continua verdadeiro se a soma de subespaços não for uma soma direta.

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 4.8 - Ex. 24

Mostre que, se e é a base de , é a base de então é base de .

Mostre com um exemplo que o resultado não continua verdadeiro se a soma de subespaços não for uma soma direta.

Passo 1

O conjunto é um gerador de , pois a partir dele podemos escrever a soma de dois vetores de e . Se mostrarmos que ele é LI, o problema está acabado, pois teríamos um conjunto gerador LI, que é uma base, por definição.

Passo 2

A soma direta é definida como o conjunto dos vetores que podem ser escritos de forma ÚNICA como a soma .

Dessa forma, o vetor nulo somente pode ser escrito de forma única, que é quando:

Ou seja, o conjunto é LI e é, portanto, uma base.

Passo 3

Podemos pegar por exemplo e . Veja que eles não podem formar uma soma direta, pois . Além disso, é LD e, portanto, não pode formar uma base.

Resposta

Demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontrar uma base e uma dimensão do espaço-solução do sistema: x - 2 y - z = 0 2 x + y + 3 z = 0 x + 3 y + 4 z = 0

Encontrar uma base e uma dimensão do espaço-solução do sistema: x + 2 y - z + 3 t = 0 2 x - y + z - t = 0 4 x + 3 y - z + 5 t = 0

Qual seria uma base “natural” para P n ? (Veja o Exemplo 4 de 4.2.2). Dê a dimensão deste espaço vetorial.

Mostre que{[[[1,0],[0,0]]] , [[[0,1],[0,0]]] , [[[0,0],[1,0]]] , [[[0,0],[0,1]]]} E base de M ( 2,2 ) .

Responda se os subconjuntos abaixo são subespaços de M 2,2 . Em caso afirmativo exiba geradores. V = a b c dc o ma , b , c , d ∈ Reb = c W = { a b c dc o ma , b , c , d ∈ Reb = c + 1 }