Mostre que, se V = W 1 ⊕ W 2 e α = { v 1 , … , v k } é a base de W 1 , β = { w 1 , … , w r } é a base de W 2 então γ = { v 1 , … , v k , w 1 , … , w r } é base de V .

Mostre com um exemplo que o resultado não continua verdadeiro se a soma de subespaços não for uma soma direta.

Passo 1

O conjunto γ é um gerador de V , pois a partir dele podemos escrever a soma de dois vetores de W 1 e W 2 . Se mostrarmos que ele é LI, o problema está acabado, pois teríamos um conjunto gerador LI, que é uma base, por definição.

Passo 2

A soma direta é definida como o conjunto dos vetores que podem ser escritos de forma ÚNICA como a soma w 1 + w 2 .

Dessa forma, o vetor nulo somente pode ser escrito de forma única, que é quando:

a 1 v 1 + … + a k v k + b 1 w 1 + … + b r w r = 0

a 1 = … = a k = b 1 = … = b r = 0

Ou seja, o conjunto γ é LI e é, portanto, uma base.

Passo 3

Podemos pegar por exemplo W 1 = [ 1,2 , ( 0,1 ) ] e W 2 = [ ( 1,0 ) ] . Veja que eles não podem formar uma soma direta, pois W 1 ∩ W 2 ≠ { 0 } . Além disso, { 1,2 , 0,1 , 1,0 } é LD e, portanto, não pode formar uma base.

Resposta

Demonstração.

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