Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 4.8 - Ex. 24
Mostre que, se e é a base de , é a base de então é base de .
Mostre com um exemplo que o resultado não continua verdadeiro se a soma de subespaços não for uma soma direta.
Passo 1
O conjunto é um gerador de , pois a partir dele podemos escrever a soma de dois vetores de e . Se mostrarmos que ele é LI, o problema está acabado, pois teríamos um conjunto gerador LI, que é uma base, por definição.
Passo 2
A soma direta é definida como o conjunto dos vetores que podem ser escritos de forma ÚNICA como a soma .
Dessa forma, o vetor nulo somente pode ser escrito de forma única, que é quando:
Ou seja, o conjunto é LI e é, portanto, uma base.
Passo 3
Podemos pegar por exemplo e . Veja que eles não podem formar uma soma direta, pois . Além disso, é LD e, portanto, não pode formar uma base.
Resposta
Demonstração.