Seja U o subespaço do R 3 , gerado por ( 1,0 , 0 ) e W o subespaço de R 3 , gerado por 1,1 , 0   e   ( 0,1 , 1 ) . Mostre que R 3 = U ⊕ W .

Passo 1

Fala meu querido, no caso dessa questão temos dois subespaços vetoriais e cada um com sua base e queremos mostrar que todos os vetores do R 3 podem ser escritos como uma soma de um elemento de U e um elemento de W .

Passo 2

Podemos escrever as bases desses subespaços vetoriais como:

Os elementos de U são da forma:

a ( 1,0 , 0 )

E os elementos de W da forma:

b 1,1 , 0 + c ( 0,1 , 1 )

Passo 3

Vamos pensar agora em um elemento genérico de R 3 , que possuem a forma:

( x 1 , x 2 , x 3 )

Podemos montar a seguinte equação vetorial:

a 1 ,   0 ,   0 + b 1 ,   1 ,   0 + c 0 ,   1 ,   1 = ( x 1 ,   x 2 ,   x 3 )

E dessa equação conseguimos montar o sistema:

a + b = x 1 b + c = x 2 c = x 3

Queremos provar que esse sistema sempre possui solução.

Passo 4

A matriz dos coeficientes é:

1 1 0 0 1 1 0 0 1

Ela é triangular inferior, e podemos calcular seu determinante como 1 . Se fossemos calcular nossas incógnitas pela Regra de Cramer, perceberíamos que é sempre possível dividir qualquer número por 1, então esse sistema é sempre possível!

Então sempre vamos conseguir escrever um vetor qualquer do R 3 como soma de vetores de V   e   W .

Resposta

Sim, é possível escrever R 3 como a soma de U   e   W .

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