Dependência Linear
Produzido por Aline BuzziTeoria
Galera, esse conceito é muito importante, mas podem ficar tranquilos que é simples de entender!
Para gente saber se um conjunto de vetores é linearmente dependente (LD) ou linearmente independente (LI) é só ver se algum desses vetores é combinação linear dos demais. Se for uma combinação linear, o conjunto é LD. Caso contrário, o conjunto é LI!
Tá boiando ainda? Vamos dar uma olhada em um exemplo para você entender tudinho!
Se liga nesse conjunto de vetores:
Será que fazendo alguma , conseguimos gerar o vetor nulo? Vamos tentar equacionar isso:
Montando o sistema:
Podemos ver que e por consequência .
Logo só existe um único jeito de gerar o vetor nulo, que é e e essa é a solução trivial! Quando o ÚNICO jeito de gerar o vetor nulo for com todos os coeficientes iguais a zero, o conjunto é !
Podemos também interpretar da seguinte forma:
OBS: Repare que na equação o é o VETOR NULO, logo ele é . Já na equação é um NÚMERO REAL, logo este é . Cuidado com o abuso de notação! ;)
Tá, mas e quando não acontece isso? A gente vai chamar o conjunto de vetores de Linearmente dependente ou LD para os íntimos.
Tá, agora vamos fazer alguns exemplos.
Exemplo: O conjunto é ou ?
Vamos aplicar a definição:
Como podemos ver, utilizando a definição, sempre acaba num sistema linear ai basta resolver ele achar valores para os coeficientes. No caso, achamos que , ou seja, os coeficientes são sempre !! E de acordo com a definição, os vetores são , pois os coeficientes são todos nulos.
Exemplo: o conjunto é ou ?
Vamos equacionar!
Igualando os vetores e montando o sistema:
Se fizermos , temos:
Ainda não terminou, temos que substituir em alguma das outras equações para ver as relações com o coeficiente , afinal tudo tem que estar em função de uma mesma constante. Vamos substituir na :
Tá, então achamos que:
Que resposta confusa! O que isso quer dizer?
Isso significa que se pegarmos e e substituirmos em , teremos sempre o vetor nulo. Olha só:
Então, se, por exemplo, , basta que . Assim, nossa equação ficaria:
Mas poderíamos multiplicar a equação por qualquer constante! Como, por exemplo, por 3:
Logo, temos infinitas possibilidades de gerar o vetor nulo! Isso quer dizer que o nosso conjunto é .
Outro jeito de pensar em dependência linear é: “Um conjunto é se existem infinitos coeficientes reais que GERAM O VETOR NULO”
Métodos práticos
Pô, meio complicado esse último exemplo, não? É verdade, existem jeitos mais práticos de ver se um conjunto é ou . Um deles é o fato abaixo:
Fato: Um conjunto de vetores é se, e somente se, algum dos seus vetores é dos demais.
Assim, no exemplo anterior bastava olha que:
E pronto, o conjunto é .
Existem dois métodos práticos que vão nos ajudar muito a verificar se um conjunto de vetores é ou .
- Verificar no olho qual vetor é dos demais. OBS: normalmente é o jeito mais rápido.
- Verificar os zeros nas coordenadas dos vetores.
Esses dois usam o fato que acabei de mencionar acima, pois se você já descobrir quem é dos demais então já podemos dizer que o conjunto é . Se não conseguir achar nenhum vetor assim, então o conjunto é .
Exemplo: O conjunto é ou ?
Podemos ver que:
Então, o terceiro vetor é uma dos demais e o conjunto é .
Exemplo: O conjunto é ou ?
Aí vai uma dica. Repara que tem o vetor nulo né? Antes de botar numa matriz e escalonar, vamos usar a definição:
Agora você vai e pensa, ahhh então todos os coeficientes são zero, logo o conjunto é .
Vê ali em cima, que o multiplicou o vetor nulo, e quando a gente somou ele sumiu, MAS ISSO NÃO QUER DIZER QUE ELE É ZERO! Quer dizer que ele é qualquer coisa, então temos infinitas possibilidades para E POR ISSO O CONJUNTO É !
Então sempre que tiver o vetor nulo ele será , porque vai sempre acontecer a mesma coisa que fizemos ali em cima.
Exemplo: O conjunto é ou ?
Caramba quantas coordenadas como vou verificar isso???
Repara só o zero nas coordenadas desses vetores. O vetor possui zero na primeira, quinta e ultima coordenada. E coincidentemente os outros dois vetores possuem zero em todos as suas coordenadas exceto a primeira e a ultima, que é aonde o vetor possui zeros. Logo, nenhum vetor consegue gerar o outro, pois não importa o múltiplo que você pegue o primeiro vetor só possui números, sem ser o zero, aonde os outros não tem, e o mesmo vale apara os vetores . E assim, o conjunto é .
Vamos dar uma olhada nos exercícios para ficar tudo show de bolinhas??