Dependência Linear
Teoria
Galera, esse conceito é muito importante, mas podem ficar tranquilos que é simples de entender!
Para gente saber se um conjunto de vetores é linearmente dependente (LD) ou linearmente independente (LI) é só ver se algum desses vetores é combinação linear dos demais. Se for uma combinação linear, o conjunto é LD. Caso contrário, o conjunto é LI!
Tá boiando ainda? Vamos dar uma olhada em um exemplo para você entender tudinho!
Se liga nesse conjunto de vetores:
Será que fazendo alguma , conseguimos gerar o vetor nulo? Vamos tentar equacionar isso:
Montando o sistema:
Podemos ver que e por consequência .
Logo só existe um único jeito de gerar o vetor nulo, que é e e essa é a solução trivial! Quando o ÚNICO jeito de gerar o vetor nulo for com todos os coeficientes iguais a zero, o conjunto é !
Podemos também interpretar da seguinte forma:
OBS: Repare que na equação o é o VETOR NULO, logo ele é . Já na equação é um NÚMERO REAL, logo este é . Cuidado com o abuso de notação! ;)
Tá, mas e quando não acontece isso? A gente vai chamar o conjunto de vetores de Linearmente dependente ou LD para os íntimos.
Tá, agora vamos fazer alguns exemplos.
Exemplo: O conjunto é ou ?
Vamos aplicar a definição:
Como podemos ver, utilizando a definição, sempre acaba num sistema linear ai basta resolver ele achar valores para os coeficientes. No caso, achamos que , ou seja, os coeficientes são sempre !! E de acordo com a definição, os vetores são , pois os coeficientes são todos nulos.
Exemplo: o conjunto é ou ?
Vamos equacionar!
Igualando os vetores e montando o sistema:
Se fizermos , temos:
Ainda não terminou, temos que substituir em alguma das outras equações para ver as relações com o coeficiente , afinal tudo tem que estar em função de uma mesma constante. Vamos substituir na :
Tá, então achamos que:
Que resposta confusa! O que isso quer dizer?
Isso significa que se pegarmos e e substituirmos em , teremos sempre o vetor nulo. Olha só:
Então, se, por exemplo, , basta que . Assim, nossa equação ficaria:
Mas poderíamos multiplicar a equação por qualquer constante! Como, por exemplo, por 3:
Logo, temos infinitas possibilidades de gerar o vetor nulo! Isso quer dizer que o nosso conjunto é .
Outro jeito de pensar em dependência linear é: “Um conjunto é se existem infinitos coeficientes reais que GERAM O VETOR NULO”
Métodos práticos
Pô, meio complicado esse último exemplo, não? É verdade, existem jeitos mais práticos de ver se um conjunto é ou . Um deles é o fato abaixo:
Fato: Um conjunto de vetores é se, e somente se, algum dos seus vetores é dos demais.
Assim, no exemplo anterior bastava olha que:
E pronto, o conjunto é .
Existem dois métodos práticos que vão nos ajudar muito a verificar se um conjunto de vetores é ou .
- Verificar no olho qual vetor é dos demais. OBS: normalmente é o jeito mais rápido.
- Verificar os zeros nas coordenadas dos vetores.
Esses dois usam o fato que acabei de mencionar acima, pois se você já descobrir quem é dos demais então já podemos dizer que o conjunto é . Se não conseguir achar nenhum vetor assim, então o conjunto é .
Exemplo: O conjunto é ou ?
Podemos ver que:
Então, o terceiro vetor é uma dos demais e o conjunto é .
Exemplo: O conjunto é ou ?
Aí vai uma dica. Repara que tem o vetor nulo né? Antes de botar numa matriz e escalonar, vamos usar a definição:
Agora você vai e pensa, ahhh então todos os coeficientes são zero, logo o conjunto é .
Vê ali em cima, que o multiplicou o vetor nulo, e quando a gente somou ele sumiu, MAS ISSO NÃO QUER DIZER QUE ELE É ZERO! Quer dizer que ele é qualquer coisa, então temos infinitas possibilidades para E POR ISSO O CONJUNTO É !
Então sempre que tiver o vetor nulo ele será , porque vai sempre acontecer a mesma coisa que fizemos ali em cima.
Exemplo: O conjunto é ou ?
Caramba quantas coordenadas como vou verificar isso???
Repara só o zero nas coordenadas desses vetores. O vetor possui zero na primeira, quinta e ultima coordenada. E coincidentemente os outros dois vetores possuem zero em todos as suas coordenadas exceto a primeira e a ultima, que é aonde o vetor possui zeros. Logo, nenhum vetor consegue gerar o outro, pois não importa o múltiplo que você pegue o primeiro vetor só possui números, sem ser o zero, aonde os outros não tem, e o mesmo vale apara os vetores . E assim, o conjunto é .
Vamos dar uma olhada nos exercícios para ficar tudo show de bolinhas??
Métodos práticos
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 24 – Prob. 1.14
Determine por inspeção se é :
Passo 1
Letra
Como podemos ver o segundo vetor é quase o primeiro, pois se multiplicarmos o primeiro por , teremos:
E como as três primeiras coordenadas ficaram iguais, caso forcemos a ultima coordenadas ser , as outras três ficarão diferentes. Então, podemos afirmar que não existe um jeito de forçar o vetor de ficar com as coordenadas iguais ao , sendo multiplicado por um numero apenas. Logo é conjunto é .
Letra
Bom, se multiplicarmos o primeiro vetor por ele dá exatamente o segundo vetor e, portanto vemos que ambos são múltiplos. Logo o conjunto é .
Passo 2
Letra
Podemos ver que se somarmos os dois primeiros vetores desse conjunto, teremos:
Que dá exatamente o terceiro vetor e, portanto, o conjunto é .
Letra
Opa, viu o vetor nulo, não precisa nem pensar! Já sabe que o conjunto é !
Resposta
Sim
Não
Não
Não
Exercício Resolvido #2
Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Álgebra Linear, 2ª ed., São Paulo, Pearson, 1987, pp. 95 – Ex. 51
Determinar o valor de para que seja o conjunto abaixo:
Passo 1
Para que o conjunto seja, devemos fazer a :
E achar que .
Como podemos ver acabamos chegando em . E isso é igual a zero quando:
Se , então por consequência , já que estes estão em função de . E sendo assim, como , o conjunto seria , independente do valor de ! De outro modo, poderia assumir qualquer valor, pois seria responsável por zerar o produto mostrado.
Assim, podemos concluir que o conjunto é para
Resposta
Exercício Resolvido #3
Elaboração própria
Determine se os conjuntos abaixo são ou LD:
Passo 1
Letra
Antes de sair montando vários sistemas loucamente, vamos dar uma olhada nos nossos vetores!
Reparem que a segunda coordenada do vetor (1, 0, 3, 2) é zero, ou seja, a única forma desses dois vetores serem uma combinação linear do vetor nulo, é se o coeficiente que multiplica o segundo vetor for zero também! Olha só:
(1, 0, 3, 2)a + (2, 1, 4, 3)b = (0, 0, 0, 0)
A equação das segundas coordenadas seria,
0a + 1b = 0 b = 0
Se substituirmos isso em outra equação, por exemplo
1a + 2b = 0
1a = 0 a = 0
Logo, nosso conjunto de vetores é LI!
Passo 2
Letra
Nesse caso, como temos três vetores, vamos montar o sistema direitinho para gente não se confundir!
O sistema seria:
- 2a + (-3)b + 2c = 0
- 0a + 1b + (-1)c = 0
- (-8)a + 2b + 2c = 0
Da equação (II) tiramos que b = c ! Já temos nossa primeira relação, UHULL
Substituindo essa relação em (I),
2a – 3b + 2b = 0
2a = b
a = ½ b
Com isso, temos que a = ½ b = ½ c. Logo, qualquer número que obedecer a essa igualdade, vai fornecer o vetor nulo! Olha só:
Vamos fazer a = 1, b = c = 2 (obedece a igualdade!) e substituir em (III), por exemplo
-8 + 4 + 4 = 0
Deu zero!! Showw de bolinhas!!
Então nossos vetores são LD!
Resposta
LI
LD
Exercício Resolvido #4
Elaboração própria.
Os vetores , , , são ou ??
Passo 1
Belezinha, vamos começar escrevendo sistema maroto!
Ficaria assim:
Abrindo em um sistema,
De tiramos que
Substituindo em :
Logo,
Se substituirmos esses valores em e , também vamos achar e .
Então, nossos vetores são !
Resposta
Exercício Resolvido #5
Elaboração própria.
Encontre o vetor sabendo que o conjunto é .
e .
Passo 1
Bom, galera vamos começar escrevendo o nosso famigerado sistema.
Ficaria assim:
Abrindo em um sistema,
De tiramos que
Substituindo em :
Substituindo em , temos
Por fim, substituindo e em :
Como nossos vetores são , . Então só nos resta:
Assim,
Resposta
Exercício Resolvido #6
Elaboração própria.
Proponha um vetor do que seja com os vetores .
Passo 1
Se a gente montar a equação, ficaria assim:
Abrindo em um sistema,
Bom, de cara percebemos que teremos infinitas soluções, já que possuímos 7 incógnitas para 4 equações. Mas, o problema só pediu um vetor , então vamos sugerir um!
Passo 2
O jeito mais fácil de resolver esse exercício é chutar valores para três coordenadas de e tentar achar o valor da coordenada faltante.
Então, chutando , teremos:
Agora sim temos 4 incógnitas para 4 equações!
De tiramos que
Substituindo em :
Opa, achamos um ! O que é bom, já que o problema pede um vetor !
Substituindo em ,
Vamos substituir em
Então, !
Com isso, a coordenada pode ser qualquer número!
Um vetor com os vetores e pode ser
ou
Existem infinitas soluções!
Resposta
ou
Existem infinitas soluções!