Avalie com erro inferior a .
Passo 1
Como essa integral é chatinha de aproximar diretamente com polinômio de Taylor e TFC por conta das derivadas, vamos aproximar o integrando por um polinômio:
Passo 2
Para facilitar nossa vida, substituímos e usamos o polinômio com essa variável:
Passo 3
Queremos um erro que seja menor que . O erro para o polinômio é, na ordem :
Como estamos aproximando uma integral, o erro dela será:
Onde está entre o ponto central do polinômio e até onde vai nos nossos cálculos que será pelo limite da integral.
Passo 4
A questão quer um resultado bem preciso, então vamos para sexta ordem logo:
Sendo:
Vai ficar:
Passando para e substituindo na integral:
Passo 5
Falta garantir que está tudo dentro do erro. O erro, para ordem :
A sétima derivada será:
Logo:
O maior valor para o cosseno entre e é , assim. Tomamos esse valor:
Agora é só felicidade. Ah, ignoramos o sinal da derivada ali porque o erro pode ser para mais ou para menos, então o sinal não importa.