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Exercícios Resolvidos de Aproximação de Integral com Polinômio de Taylor

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Exercício 21345

Enunciado

Calcule a aproximação de ordem 4 da seguinte integral usando polinômio de Taylor:

∫ 1 e ln ⁡ ( t ) d t

E compare o resultado com o valor real.

Passo 1

Vamos atribuir uma variável para o limite superior da integral:

f x = ∫ 1 x ln ⁡ ( t ) d t

Passo 2

Para ordem 4 , o polinômio de Taylor será centrado em x 0 = 1 que é um valor conhecido próximo do ponto de interesse:

P x = f 1 + f ' 1 x - 1 + f ' ' 1 2 x - 1 2 + f ' ' ' 1 6 x - 1 3 + f 4 1 24 x - 1 4

Vamos calcular esses valores agora:

f 1 = ∫ 1 1 ln ⁡ ( t ) d t = 0

Já que a integral de a a a é sempre zero:

f ' x = d d x ∫ 1 x ln ⁡ ( t ) d t

Sendo F a primitiva desse integrando:

f ' x = d d x F x - F 1 = ln ⁡ ( x )

Logo:

f ' 1 = ln ⁡ 1 = 0

Agora a próxima derivada:

f ' ' x = ln ⁡ x ' = 1 x ⟹ f ' ' 1 = 1

Para a terceira:

f ' ' ' x = - 1 x 2 ⟹ f ' ' ' ( 1 ) = - 1

Para a quarta:

f 4 x = 2 x 3 ⟹ f 4 1 = 2

Assim a gente vai ter:

P x = 1 2 x - 1 2 - 1 6 x - 1 3 + 1 12 x - 1 4 ≈ ∫ 1 x ln ⁡ ( t ) d t

No ponto e de interesse:

P e = 1 2 e - 1 2 - 1 6 e - 1 3 + 1 12 e - 1 4 = 1.35714

Passo 3

A integral pode ser resolvida por partes também:

∫ 1 e ln ⁡ ( t ) d t

u = l n ⁡ ( t ) v = t d u = 1 t d t d v = 1

Substituindo:

∫ 1 e ln ⁡ ( t ) d t = t ln ⁡ t 1 e - ∫ 1 e d t = e - e - 1 = 1  

Nota-se um erro de 0.35714 entre o valor real e o valor aproximado.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)