USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 1 - Polinômio de Taylor e Curvas Planas, Questão 1.8
Seja f : R → R uma função derivável até quarta ordem tal que f(0) = 3, f'(0) = −2, f''(0) =2 e f'''(0) = 4. Suponha que
, para todo x ∈ R. Obtenha uma aproximação com cinco casas decimais para f(1/3) e determine o erro cometido nessa aproximação.
Passo 1
Podemos obter uma aproximação para usando a expansão de Taylor da função em torno de . A expansão de Taylor de é dada por:
onde está entre e .
Dadas as informações, temos:
Agora, precisamos calcular para algum valor de entre e . Usando a fórmula fornecida para :
Agora, podemos usar a expansão de Taylor para calcular com cinco casas decimais de precisão:
Passo 2
Substituindo os valores conhecidos:
Agora, podemos calcular com cinco casas decimais de precisão:
Agora, para determinar o erro cometido nessa aproximação, podemos usar o teorema do erro de Taylor. O erro é dado por:
onde está entre e .
Substituindo e , obtemos:
O maior valor possível de ocorre quando , pois a função é crescente. Portanto:
Calculando essa expressão:
Calculando o valor numérico: