Enunciado
Cálculo Numérico - Ruggiero - Aspectos Teóricos e Computacionais- Ed: 2º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 22b
Em cada caso:
- verifique se o critério de Sassenfeld é satisfeito ;
- resolva por Gauss-Seidel , se possível:
Passo 1
Fala meu camaradinha, tudo certinho?
Bora resover mais um exercício desse livro. Basicamente, vamos resolver um sisteminha de equações lineares.
A primeira coisa que temos que fazer aqui é conferir o critério de Sassenfeld, que basicamente serve para ver se os valores numéricos da diagonal principal são os maiores de suas respectivas fileiras.
Verificando o critério de Sassenfeld:
Logo, . O critério é satisfeito.
Agora, podemos começar a resolver o problema usando Gauss-Seidel.
Passo 2
Fala meu camarinha, vamos começar a resolver esse exercício. Mas uma coisa importante que o exercício não nos deu é o critério de parada. Ou seja, aquilo que vai dizer que estamos chegando na resposta certa ou não. Vamos definir um critério de só para termos um parâmetro, feshow?
Bora calcular então, vamos primeiro transformar nossa matriz em um sistema de equações:
Então, nosso sistema será:
Na equação isolamos , na equação isolamos e na equação isolamos , na equação isolamos :
Basicamente nesse método vai acontecer o seguinte:
Cada iteração serve para encontrarmos o conjunto de pontos . Maaaaaaaas, como nem tudo nessa vida é lindo. Vai começar assim : temos um conjunto de pontos nulo onde , e usamos para calcular o primeiro valor de .
Mas no passo seguinte não podemos fazer isso, porque já conhecemos um , então apenas , quando formos calcular teremos e calculados no passo anterior, faz sentido?
Vamos calcular!
Passo 3
Agora precisamos de um chute inicial. Se a gente jogar em todas as variáveis dá valores bem próximos né? Então vamos usar .
Iteração :
Então temos .
Critério de Parada:
Não atingimos o critério, então continuamos as iterações.
Iteração :
Então temos .
Critério de Parada:
Como , nós paramos por aqui e teremos como conjunto de pontos: