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Enunciado

Cálculo Numérico - Franco e Neide B - Cálculo Numérico- Ed: 1º - Capítulo 2.Exercícios complementares - Ex. 15

Dados os números: 13.44 5   ,   122.35 6   ,   31.202 4   . Existe algum com representação exata no sistema 𝐹 2,10,10,10 ?

Passo 1

Eaí? Tudo na paz? Vamos para esse exercício que envolve aritmética de ponto flutuante e mudanças de base.

Teremos que, primeiramente, passar todos os números dados para a base 2, para isso, precisaremos colocá-los na base 10 para depois passar para base 2 e verificar se conseguiremos representar tal resultado no sistema informado. Vamos fazer cada número separadamente.

Passo 2

Vamos iniciar com 13.44 5 , passando-o para a base 10. O passo a passo nós já sabemos:

13.44 5 =   1 × 5 1 + 3 × 5 0 + 4 × 5 − 1 + 4 × 5 − 2   =   8,24 10

Agora que achamos o número na base 10, vamos passar para a base 2. Você lembra como fazer, certo? Precisamos tratar a parte inteira do valor e ir dividindo (divisões inteiras) por 2 enquanto colhemos os restos, e a parte decimal vamos multiplicar sempre por 2 (já que é a base que desejamos), observando os dígitos inteiros que iremos obter com tal multiplicação. Se você ainda não entendeu, vem comigo que na prática fica mais claro!

8 10     →   𝑃 𝑎 𝑠 𝑠 𝑎 𝑟   𝑝 𝑎 𝑟 𝑡 𝑒   𝑖 𝑛 𝑡 𝑒 𝑖 𝑟 𝑎   𝑝 𝑎 𝑟 𝑎   𝑎   𝑏 𝑎 𝑠 𝑒   2

8 ÷ 2 = 4   →   𝑟 𝑒 𝑠 𝑡 𝑜   0  

4 ÷ 2 = 2   →   𝑟 𝑒 𝑠 𝑡 𝑜   0  

2 ÷ 2 = 1   →   𝑟 𝑒 𝑠 𝑡 𝑜   0  

1 ÷ 2 = 0   →   𝑟 𝑒 𝑠 𝑡 𝑜   1  

𝐿 𝑜 𝑔 𝑜 :   8 10 =   1000 2

Lembre-se que quando dividimos, devemos considerar a ordem inversa dos restos.

Agora vamos para a parte decimal:

0,24 10   →   𝑝 𝑎 𝑟 𝑎   𝑎   𝑏 𝑎 𝑠 𝑒   2

0,24 × 2 = 0,48   →   𝐷 í 𝑔 𝑖 𝑡 𝑜   0  

0,48 × 2 = 0,96   →   𝐷 í 𝑔 𝑖 𝑡 𝑜   0  

0,96 × 2 = 1,92   →   𝐷 í 𝑔 𝑖 𝑡 𝑜   1  

0,92 × 2 = 1,84   →   𝐷 í 𝑔 𝑖 𝑡 𝑜   1  

0,84 × 2 = 1,68   →   𝐷 í 𝑔 𝑖 𝑡 𝑜   1  

0,68 × 2 = 1,36   →   𝐷 í 𝑔 𝑖 𝑡 𝑜   1  

0,36 × 2 = 0,72   →   𝐷 í 𝑔 𝑖 𝑡 𝑜   0  

0,72 × 2 = 1,44   →   𝐷 í 𝑔 𝑖 𝑡 𝑜   1  

0,44 × 2 = 0,88   →   𝐷 í 𝑔 𝑖 𝑡 𝑜   0  

0,88 × 2 = 1,76   →   𝐷 í 𝑔 𝑖 𝑡 𝑜   1  

0,76 × 2 = 1,52   →   𝐷 í 𝑔 𝑖 𝑡 𝑜   1  

…

Já passamos de 10 casas de dígitos e ainda não encontramos uma repetição ou o valor 1 (condições de parada), logo não podemos representar exatamente este número no sistema dado.

Passo 3

Agora vamos transformar 122.35 6 :

Passando para a base 10:

1 × 6 2 + 2 × 6 1 + 2 × 6 0 + 3 × 6 − 1 + 5 × 6 − 2 = 50.63888 …

Temos uma dízima periódica representando na base 10. Logo não conseguiremos representar tal número exatamente na base exigida pelo enunciado.

Passo 4

Por fim, vamos brincar com o último número, 31.202 4 :

Passando para a base 10:

3 × 4 1 + 1 × 4 0 + 2 × 4 − 1 + 0 × 4 − 2 + 2 × 4 − 3   =   13.53125 10

Agora precisamos passar para a base 2 seguindo os mesmos procedimentos que já utilizamos no passo 1.

𝑃 𝑎 𝑟 𝑡 𝑒   𝑖 𝑛 𝑡 𝑒 𝑖 𝑟 𝑎   13 10

13 ÷ 2 = 6   →   𝑅 𝑒 𝑠 𝑡 𝑜   1  

6 ÷ 2 = 3   →   𝑅 𝑒 𝑠 𝑡 𝑜   0  

3 ÷ 2 = 1   →   𝑅 𝑒 𝑠 𝑡 𝑜   1  

1 ÷ 2 = 0   →   𝑅 𝑒 𝑠 𝑡 𝑜   1  

13 10 = 1101 2

𝑃 𝑎 𝑟 𝑡 𝑒   𝑑 𝑒 𝑐 𝑖 𝑚 𝑎 𝑙   0.53125 10

0.53125 × 2   =   1.0625   →   𝐷 í 𝑔 𝑖 𝑡 𝑜   1  

0.0625 × 2   =   0.125   →   𝐷 í 𝑔 𝑖 𝑡 𝑜   0  

0.125 × 2   =   0.25   →   𝐷 í 𝑔 𝑖 𝑡 𝑜   0  

0.25 × 2   =   0.5   →   𝐷 í 𝑔 𝑖 𝑡 𝑜   0  

0.5 × 2   =   1   →   𝐷 í 𝑔 𝑖 𝑡 𝑜   1   𝐶 𝑜 𝑛 𝑑 𝑖 ç ã 𝑜   𝑑 𝑒   𝑝 𝑎 𝑟 𝑎 𝑑 𝑎

Logo:

31.202 4 = 1101.10001 2 =   0.110110001   × 2 4

Podemos representar exatamente esse número no sistema fornecido! Até a próxima!!!

Resposta

Apenas 31.202 4 pode ser representado exatamente no sistema fornecido.

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