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Enunciado

Cálculo Numérico - Franco e Neide B - Cálculo Numérico- Ed: 1º - Capítulo 8.Exercícios complementares - Ex. 27

Deseja-se aproximar uma função f   >   0 tabelada por uma função do tipo:

x 2 ln ⁡ ( a x 4 + b x 2 + c )

usando o método dos mínimos quadrados.

a) Podemos aproximar f diretamente pela função acima? Caso não seja possível, quais são as transformações necessárias?

b) Qual função será minimizada?

c) Qual é o sistema linear a ser resolvido?

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão do livro de cálculo numérico de Franco e Neide ele deseja aproximar uma função f   >   0 tabelada por uma função do tipo:

x 2 ln ⁡ ( a x 4 + b x 2 + c )

usando o método dos mínimos quadrados.

a) Podemos aproximar f diretamente pela função acima? Caso não seja possível, quais são as transformações necessárias?

b) Qual função será minimizada?

c) Qual é o sistema linear a ser resolvido?

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Então galerinha nessa questão dado a função f > 0 :

x 2 ln ⁡ ( a x 4 + b x 2 + c )

Temos que na letra (a) para aproximar f diretamente pela função acima, temos que

f ' x = 2 x . ln ⁡ ( a x 4 + 6 x 2 + c ) - x 2 . 1 3 a x 3 + 2 b x . ln ⁡ ( a x 4 + b x + c ) ln ⁡ a x 4 + b x 2 + c 2

Ficando para f ' 1 ;

f ' 1 = 2 x . ln ⁡ ( a x 4 + 6 x 2 + c ) - x 2 . 1 3 a x 3 + 2 b x . ln ⁡ ( a x 4 + b x + c ) ln ⁡ a x 4 + b x 2 + c 2 = 2

Já na letra (b) sua função minimizada pode ser definida por,

f x = x 2 1 a x 4 + b x 2 + c → f x = x 2 ( a x 4 + b x + c )

Ficando,

f x = a x 6 + b x 3 + c x 2

E por fim na letra ( c ) para saber o sistema linear temos,

6 x 1 + 3 x 2 + x 3 = 0 2 x 1 + 2 x 2 + 0 = 0 0 + x 2 + x 3 = 0

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) f ' 1 = 2

b) f x = a x 6 + b x 3 + c x 2

c) 6 x 1 + 3 x 2 + x 3 = 0 2 x 1 + 2 x 2 + 0 = 0 0 + x 2 + x 3 = 0

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Dada a tabela abaixo, faça o gráfico de dispersão dos dados e ajuste uma curva da melhor maneira possível:
Mostre que o conjunto das funções: { 1 , cos ⁡ t , sin ⁡ t , cos ⁡ 2 t , sin ⁡ 2 t ,… , sin ⁡ m t } e um sistema ortogonal em [ - π , π ]
Determinar aproximação trigonométrica de ordem 2 , em [ - π , π ] , para y ( t )= | sin ⁡ t | .
Obter aproximação trigonométrica, de ordem 1 , para a função: