Usando método dos mínimos quadrados aproxime a função f x =   3   x 6 -   x 4 no intervalo [ - 1,1 ] , por uma parábola, usando os polinômios de Legendre.

L n x = 1 2 n . n !   d n d x n x 2 - 1 n ;     L 0 x = 1 ,

são ortogonais segundo o produto escalar:

L i x ,   L j x = ∫ - 1 1 L i x L j x d x

e além disso satisfazem:

∫ - 1 1 L n 2 x d x = 2 2 n + 1  

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão do livro de cálculo numérico de Franco e Neide usando método dos mínimos quadrados aproxime a função f x =   3   x 6 -   x 4 no intervalo [ - 1,1 ] , por uma parábola, usando os polinômios de Legendre.

L n x = 1 2 n . n !   d n d x n x 2 - 1 n ;     L 0 x = 1 ,

são ortogonais segundo o produto escalar:

L i x ,   L j x = ∫ - 1 1 L i x L j x d x

e além disso satisfazem:

∫ - 1 1 L n 2 x d x = 2 2 n + 1  

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Então galera nessa questão ele deseja aproximar a função,

L n x = 1 2 n . n !   d n d x n x 2 - 1 n ;     L 0 x = 1 ,

Temos,

∫ - 1 1 L i x L j x d x = 1 2 n n ! d n d x n x 2 - 1 n

∫ - 1 1 L n 2 x d x = 2 2 n + 1

Ficando,

1 2 n n ! d n d x n x 2 - 1 n + 2 2 n + 1  

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

1 2 n n ! d n d x n x 2 - 1 n + 2 2 n + 1  

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