Enunciado
Cálculo Numérico - Franco e Neide B - Cálculo Numérico- Ed: 1º - Capítulo 3.Exercícios complementares - Ex. 34
A equação tem três raízes. Um método iterativo pode ser definido usando a preparação óbvia da equação:
i) Verificar que começando com x0 = 0 haverá convergência para a raiz próxima de –0.5, se o valor negativo for usado e que haverá convergência para a raiz próxima de 1.0, se o valor positivo for usado.
ii) Mostrar que a forma acima não converge para a terceira raiz próxima de 4.0, qualquer que seja a aproximação inicial próxima da raiz.
Passo 1
Opa! Tudo certinho? Teremos um grande rolê neste exercício, hein!? Vamos primeiramente fazer os testes que foram propostos, começando com x0 = 0 e usando o valor negativo do método iterativo ficamos com:
(...)
Deu certo! Usando o valor negativo, chegamos em uma raiz próxima a –0.5!
Agora fazendo o mesmo, porém com a fórmula iterativa com sinal positivo:
(...)
(...)
Novamente verificamos que o enunciado fez afirmações verdadeiras! Usando o sinal positivo, obtemos uma raiz próxima de 1.0, conforme citado.
Passo 2
Partindo para o segundo tópico da questão, vamos verificar que a fórmula iterativa não converge para sua raiz próxima de 4.0 . Para isso, vamos utilizar valores próximo de 4.0 e verificar se de fato, não há convergência:
Para
, considerando o método positivo e negativo:
A cada iteração o valor aumenta, e , e o valor só tende para o infinito. Assim, independente do sinal, o método iterativo não irá convergir para a raiz próxima a 4.0 .
Resposta
Não converge!