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Enunciado

Cálculo Numérico - Franco e Neide B - Cálculo Numérico- Ed: 1º - Capítulo 8.Exercícios - Ex. 2

Seja f x = 1 x 4 ,   x ∈ 0,1 . Usando o método dos mínimos quadrados, aproximar a função f(x) por um polinômio do tipo P x = a x 2 + b x 4 , usando o seguinte produto escalar:

f , g = ∫ 0 1 x 2   f x   g x   d x           { x 2 , x 4 }

Note que a base do subespaço neste caso é: { x 2 , x 4 }

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão do livro de cálculo numérico de Franco e Neide seja f x = 1 x 4 ,   x ∈ 0,1 . Usando o método dos mínimos quadrados, aproximar a função f(x) por um polinômio do tipo P x = a x 2 + b x 4 , usando o seguinte produto escalar:

f , g = ∫ 0 1 x 2   f x   g x   d x           { x 2 , x 4 }

Note que a base do subespaço neste caso é: { x 2 , x 4 }

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Então galerinha para determinarmos o método dos mínimos quadrados tendo sido dado que,

f x = 1 x 4 ,   x ∈ 0,1

( 1,1 ) ( x , 1 ) ( x 2 , 1 ) ( 1 , x ) ( x , x ) ( x 2 , x ) ( 1 , x 2 ) ( x , x 2 ) ( x 2 , x 2 ) a 0 a 1 a 2 = ( f , 1 ) ( f , x ) ( f , x 2 )

Ficando,

1,1 = ∫ - 1 1 d x = 2

1 , x = ∫ - 1 1 x d x   = 0      

1 , x 2 = ∫ - 1 1 x 2 d x   = 2 3      

x , x 2 = ∫ - 1 1 x 3 d x = 0  

x 2 , x 2 = ∫ - 1 1 x 4 d x   = 2 5      

Ficando,

f , g = ∫ 0 1 1 x 4 d x

Sendo,

f , g = ∫ 0 1 x - 4 = x - 3 - 3 = - 1 3

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

- 1 3

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar a parábola mais próxima dos pontos ( x i, y i ) para a função y=f ( x ) tabelada:
Usando o método dos mínimos quadrados, aproximar a função f x = x 2 - 3 x + 4 2 ,x ∈ 0,1 ; a) por uma reta;b) por um polinômio do 2° grau.
Usando o método dos mínimos quadrados, aproxime a função dada pela tabela:por um polinômio do tipo P ( x )=a+bx 3 , usando o produto escalar: x , y = ∑ i = 0 n ( i + 1 ) x i y i
Seja f x = 1 x + 2 ,x ∈ [ - 1,1 ] . Usando o método dos mínimos quadrados, aproximar a função f ( x ) por um polinômio do 2 ° grau.