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Enunciado

Cálculo Numérico - Franco e Neide B - Cálculo Numérico- Ed: 1º - Capítulo 8.Exercícios - Ex. 5

Usando o método dos mínimos quadrados, aproximar a função f x = x 2 - 3 x + 4 2 ,   x ∈ 0,1 ;

a) por uma reta;

b) por um polinômio do 2   ° grau.

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão do livro de cálculo numérico de Franco e Neide ele pede para aproximar, pelo método dos mínimos quadrados, a função f x = x 2 - 3 x + 4 2 ,   x ∈ 0,1 ;

a) por uma reta;

b) por um polinômio do 2   ° grau.

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Então galerinha nessa questão ele pede para aproximar pelo método dos mínimos quadrados certa função composta por,

f x = x 2 - 3 x + 4 2 ,   x ∈ 0,1 ;

Sendo que na letra (a) para aproximarmos para uma reta temos que antes determinar a função composta por,

x 2 - 3 x + 4 . x 2 - 3 x + 4 = x 4 - 6 x 3 + 17 x 2 - 24 x + 16

Ficando para,

P 0 * = p 0 p 0 , p 0 1 2 = 1 ∫ 1 1 d x 1 2 = 2 2

P 1 * = p 1 p 1 , p 1 1 2 = 1 ∫ 1 1 x 2 d x 1 2 = 6 2 x

a 0 = f , P 0 * = ∫ - 1 1 2 2 x 4 - 6 x 3 + 17 x 2 - 24 x + 16   d x = 2 12

a 1 = f , P 1 * = ∫ - 1 1 6 2 x x 4 - 6 x 3 + 17 x 2 - 24 x + 16   d x = 6 1 8

Ficando,

f x = 2 12 . 2 2 + 6 18 . 6 2   x → f x = 1 12 + x 6

Já na letra (b) para um polinômio de 2 ° grau temos,

f x = a 0 P 0 * x + a 1 P 1 * x + a 2 P 2 *

Ficando para,

P 0 * = p 0 p 0 , p 0 1 2 = 1 ∫ 1 1 d x 1 2 = 2 2

P 1 * = p 1 p 1 , p 1 1 2 = 1 ∫ 1 1 x 2 d x 1 2 = 6 2 x

P 2 * = p 2 p 2 , p 2 1 2 = 1 ∫ 1 1 x 3 d x 1 2 = 8 2 x 2

a 0 = f , P 0 * = ∫ - 1 1 2 2 x 4 - 6 x 3 + 17 x 2 - 24 x + 16   d x = 2 12

a 1 = f , P 1 * = ∫ - 1 1 6 2 x x 4 - 6 x 3 + 17 x 2 - 24 x + 16   d x = 6 18

a 2 = f , P 2 * = ∫ - 1 1 8 2 x 2 x 4 - 6 x 3 + 17 x 2 - 24 x + 16   d x = 8 24

Ficando,

f x = 2 12 . 2 2 + 6 18 . 6 2 x . 8 24 . 8 2 x 2 → f x = 1 12 + 1 6 x + 1 6 x 2

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) f x = 1 12 + x 6

b) f x = 1 12 + 1 6 x + 1 6 x 2

Exercícios de Livros Relacionados

Usando o método dos mínimos quadrados, aproximar a função f x = x 3 - 1 2 ,x ∈ [ 0,1 ] a) por uma reta;b) por um polinômio do 2 ° grau.
Considere a função f ( x ) , dada por:Onde x k = 2 k π 12 . Obtenha aproximação trigonométrica, de ordem 2, usando o método dos mínimos quadrados.
Determinar, pelo método dos mínimos quadrados, a reta mais próxima dos pontos ( x i, y i ) para a função y=f ( x ) tabelada:
Aproximar, pelo método dos mínimos quadrados, a função f ( x )=x 3+4x , no intervalo [ 0,1 ] , a) por uma reta;b) por um polinômio do 2° grau.
Deseja-se aproximar uma função f definida em um intervalo [ a , b ] por uma função g x = x 2 ln ⁡ x 3 a + b x 2 usando o método dos mínimos quadrados.a) Qual é a função a ser minimizada?b) Qual é o si