Método de Taylor

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Teoria

Fala aí! Bora aprender o Método de Taylor?!

Pra a gente começar com tudo, eu gostaria que você me dissesse como poderíamos resolver esse problema de valor inicial (PVI):

Ache , se:

Poderíamos usar o método de Euler, mas confia em mim, o resultado usando o método de Taylor é muito mais preciso!

E é esse novo método que vamos aprender hoje! 🤩🤩🤩

Segundo o método de Taylor conhecendo as derivadas de uma função em um ponto , nós podemos escrever essa função como um polinômio infinito:

Série de Taylor
Série de Taylor

Só que é claro que a gente não vai ficar calculando derivadas infinitas, vamos truncar a série de Taylor em algum momento! 😅

Dessa forma o erro de truncamento pode ser calculado por:

Erro de truncamento
Erro de truncamento

Onde á, . Ou seja, é o valor máximo da derivada de ordem da função, em que pode assumir qualquer valor no intervalo .

Como resolver EDO’s usando o Método de Taylor?

Vamos aprender resolvendo aquele exemplo lá do início!

Ache , se:

A primeira coisa que vamos fazer é definir o passo, , que é dado por:

Para entre e . Nesse problema temos .

Estamos trabalhando no intervalo em . E a relação de recorrência por Taylor de ordem 1 é:

Onde:

Então temos:

E queremos , já que para chegar em , partindo de a um passo , precisamos fazer duas iterações apenas.

Já que para , é uma iteração e de para é uma outra iteração.

Então, vamos lá:

Continuando:

Aweee! Achamos nosso !

Algoritmo para o Método de Taylor

  • Defina o passo
  • Defina o intervalo em que vamos estimar
  • Pegamos a expressão:
  • Calculamos e
  • Pegamos um vetor onde vamos guardar os valores de e fazemos .
  • Pra entre e fazemos

Agora que você tá sacando tudo sobre o Método de Taylor, bora praticar com exercícios?

Como resolver EDO’s usando o Método de Taylor?

Algoritmo para o Método de Taylor

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Apresente a fórmula de iteração para o método de Taylor de ordem 2 aplicado ao PVI:

y ' + y = x y 0 = 0

Sendo h = 0.1

Passo 1

Aqui nem temos que fazer tantas contas assim! Ele só nos pediu a fórmula de iteração!

Lembrando que no caso geral ela é:

y n + 1 = y n + y n ' ⋅ h + y n ' ' 2 h 2

Passo 2

Vamos calcular as derivadas necessárias:

y n ' = x n - y n

y ' ' = 1 - y '

y n ' ' = 1 - y n ' = 1 - x n - y n = y n - x n + 1

Daí, a fórmula de iteração fica:

y n + 1 = y n + 0.1 x n - y n + 0.005 y n - x n + 1 = 0.905 y n + 0.095 x n + 0.005

Resposta

y n + 1 = 0.905 y n + 0.095 x n + 0.005

Exercício Resolvido #2

Calcular y ( 2.1 ) usando a série de Taylor de 2ª ordem para o PVI:

x y ' = x - y y 2 = 2

Passo 1

Fala, td blz? Esse assunto de resolver PVI com série de Taylor é muita viagem né, mas vamos por partes, pode ficar tranquilo. Olha lá, a primeira coisa a se fazer é isolar o y ' na sua EDO.

y ' = x - y x = 1 - y x

Esse negócio que ficou sozinho do lado direito da igualdade vamos chamar de f ( x , y ) , ok?

E já vamos calcular logo de cara o y ' 2   , que é parte da fórmula pra achar y ( 2.1 ) ,

com os dados de x e y que a gente tira do PVI alí no enunciado.

y ' 2 = 1 - 2 2 = 0

Passo 2

Agora temos que encontrar o y ' ' . Como seu professor pediu ordem 2, essa vai ser a última derivada que você precisa achar. Pra isso vamos aplicar a regrinha da cadeia hehe

y ' ' = ∂ f ∂ x + y ' ∂ f ∂ y

Vamos por pedacinho então

∂ f ∂ x = y x 2

E

∂ f ∂ y = - 1 x

Então temos

y ' ' = y x 2 + - y ' x

Agora precisamos calcular y ' ' ( 2 ) , que é parte da fórmula pra achar y ( 2.1 ) .

y ' ' 2 = 2 4 + 0 = 0.5

Passo 3

Agora precisamos substituir esses valores que encontramos na fórmula do método que é essa aqui oh:

y k + 1 = y k + y k ' h + y k ' ' h 2 2 …

Adaptada pro nosso problema, ela fica assim:

y 2.1 = y 2 + y ' 2 * h + y ' ' 2 * h 2 2

y 2.1 = 2 + 0 * 0.1 + 0.5 * 0.1 2 2 = 2.0025

Resposta

y 2.1 = 2.0025

Exercício Resolvido #3

Calcular y ( 0.2 ) usando a série de Taylor de 2ª ordem para o PVI:

y ' = - y + x + 2 y 0 = 2

Considere h = 0.1

Passo 1

Fala, td blz? Doideraaa resolver PVI com série de Taylor, mas vamos lá!! Primeiro, Esse negócio que ficou sozinho do lado direito da igualdade vamos chamar de f ( x , y ) , ok?

y ' = f ( x , y )

Sabemos também lá da teoria que para achar y ( 0.2 ) , teremos que achar primeiro y ( 0.1 ) então olha lá.

y 0.1 = y 0 + y ' 0 * h + y ' ' 0 * h 2 2

Então bora calcular esse y ' ( 0 )

y ' 0 = - 2 + 0 + 2 = 0

Beleza, a última parcela que falta é y ' ' , mas pra acha-la vamos precisar de uma ajudinha da regra da cadeia

y ' ' = ∂ f ∂ x + y ' ∂ f ∂ y

Por partes, e com calma vamo lá.

∂ f ∂ x = 1

E

∂ f ∂ y = - 1

Então

y ' ' = 1 - y '

y ' ' = y - x - 1

Aeeew!! Agora basta encontrar y ' ' ( 0 )

y ' ' 0 = 2 - 0 - 1 = 1

Então já podemos achar y ( 0.1 ) .

y 0.1 = y 0 + y ' 0 * h + y ' ' 0 * h 2 2

y 0.1 = 2 + 0 * 0.1 + 1 * 0.1 2 2 = 2.005

Passo 2

Já estamos quase lá, agora é só aplicar mais uma iteração pra chegar em y ( 0.2 )

y 0.2 = y 0.1 + y ' 0.1 * h + y ' ' 0.1 * h 2 2

Podemo calcular y ' ( 0.1 ) .

y ( 0.1 ) ' = - y ( 0.1 ) + x + 2

y ' 0.1 = - 2.005 + 0.1 + 2 = 0.09 5

E rapidão já calcular y ' ' ( 0.1 ) .

y ( 0.1 ) ' ' = y ( 0.1 ) - x - 1

y ( 0.1 ) ' ' = 2.005 - 0.1 - 1 = 0.905

E pra acabar, e tirar aquele 10, basta agora usar de novo a equação do método que a gente montou lá no começo.

y 0.2 = y 0.1 + y ' 0.1 * h + y ' ' 0.1 * h 2 2

y 0.2 = 2.005 + 0.09 5 * 0.1 + 0.905 * 0.1 2 2 = 2.01

Resposta

y 0.2 = 2.01

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23. Considere a equação diferencial y ' = y sen ⁡ y + x com a condição inicial y 0 = 1 . Calcule y ' ( 0 ) , y ' ' ( 0 ) e y ' ' ' ( 0 ) . Utilizando esta informação calcule aproximadamente y ( 0.2 )
Apresente a fórmula de iteração para o método de Taylor de· ordem 2 aplicado ao PVI abaixo: sendo h = 0.1; verifique que y(x) = exp(-x) + x - 1 é solução do PVl; calcule um limitante superior para o e