Método de Euler
Teoria
Introdução às EDO’s
Falaaaaa meus caros, espero que esteja tudo numa boa aí! Eu to mega feli, agora vamos começar um assuntinho que estamos prorrogando desde o início desse capítulo. CHEGOU A HORA DE RESOLVER EDO ATÉ SER O NINJA DAS EDO´S. Vamos sair desse tópico sabendo achar , se:
Eu não sei se você ta animado, mas eu estou!
Talvez você, meu jovem aprendiz, já tenha alguma noção da tal da Equação Diferencial e Ordinária, que carinhosamente chamamos de EDO. Mas, se é a primeira vez que você ouvir falar dela, nem se estresse, nós vamos explicar tudo tin tin por tin tin.
Uma EDO geralmente é uma equação com essa carinha aqui:
Ou com essa:
Então, o que essa equação tem de tão especial? Uma EDO é uma equação que envolve uma função, suas derivadas, e uma variável independente. Nesse caso, temos uma em função de uma variável independente e a derivada dessa função, que é . Uma observação é que essas letras podem mudar sem problemas, ok? Podemos ter uma função de uma variável , por exemplo. São apenas letras, só precisamos identificar cada uma!
Como identificar? A função possui uma derivada, a variável, não. 😉
E uma coisa que devemos saber sobre as EDO´s é que elas tem uma ordem. Basicamente, a ordem tem a ver com a maior derivada que aparece na nossa equação. Então, olhando os exemplos alí de cima vemos que a primeira EDO é de ordem 2 (a máxima derivada é de ordem 2) e a segunda de ordem 1. SHOOOW DE BOLA!
Lá vem o PVI
E um PVI? Dei uma retocada nele láaaa quando eu falei sobre os polinômios de Taylor. Só que agora vamos ver com mais carinho e atenção, já que ele será o foco do nosso estudo.
Afinal, o que é um PVI, Problema de Valor Inicial?
Calma meu jovem, não coloque a carroça na frente dos bois. Antes de falar o que é um PVI, vamos entender porque eles são tão comuns. Veja essa EDO:
Resolver uma EDO é achar todas as funções que satisfazem à equação. Nesse caso, a solução é:
Onde e são constantes reais arbitrárias. Isto é, pra qualquer valores que a gente jogar nessas constantes, a função sempre vai satisfazer à EDO. Chamamos isso de solução geral da EDO. Pra determinar uma função só, precisamos impor mais umas condições:
Agora sim temos só uma solução! Vimos que a geral é:
Então, precisamos achar os valores de e . Para isso, vamos substituir os pontos que foram dados:
Onde . Fazendo e , achamos os valores para e , que são:
Dessa forma, a resposta da EDO será:
Isso aí é um PVI : a EDO mais os valores iniciais da função e de suas derivadas. Observe que para a nossa EDO aqui, que é de ordem , temos condições iniciais, sobre e . Se fosse de ordem , precisaríamos só do valor de pra determinar a solução.
O Teorema da Existência e Unicidade nos diz que, para qualquer PVI de ordem , ou seja, onde temos uma EDO de ordem e também condições iniciais, obtemos sempre uma única solução.
Dessa forma, o PVI serve para quando o valor da função e suas derivadas são especificados no mesmo ponto (para o mesmo valor da variável independente, );
Entra o Cálculo Numérico
Até agora nós só generalizamos EDO, afinal, existem disciplinas que falam só delas ! Então, vamos trazer uma abordagem que vai te fazer desbravar essas terras desconhecidas. Bora lá?
Pra ajudar, as vezes nessas disciplinas você aprende a resolver um número limitado de EDO´s, geralmente só as bonitinhas, ou tipo essa aqui:
Só que, o cálculo numérico vai te ensinar a resolver qualquer tipo de EDO, e pasme, vamos fazer isso do jeito que sabemos fazer melhor.... APROXIMA TUDOOOOO.
E, para variar, teremos nossos limites, que serão os critérios de parada.
A abordagem mais tranquila para estimar uma inclinação é usar a equação diferencial para obter uma estimativa na forma da primeira derivada em .
Então temos o Método de Euler, ele serve para resolver Problemas de Valor Inicial de primeira ordem, então ele é bem tranquilinho. Já que você deve conhecer só os palpites e valores iniciais e a equação vai ter no máaaaaximo derivadas de ordem um .
Veja bem, a lógica é tranquilona. Suponha que queremos saber valores da função definida pelo seguinte PVI:
Nesse intervalo nós conhecemos o intervalo . Aqui vai uma observação que talvez demore um pouco pra você entender, talvez só depois de você ver a parte de Equações de Ordem Superior, então se parecer meio nada a ver agora, não se preocupe e siga em frente: o pode ser um vetor de funções! Nesse caso as fórmulas são as mesmas, só vamos ter mais contas na hora de resolver os exercícios.
Talvez você se confunda em achar o na hora de resolver o exercício, mas saca só. Na EDO:
O vai ser:
Viu o que aconteceu? Nós escrevemos a derivada em função do .
OBS.: Repare que pode ser em função de , de ou qualquer outra variável, isso vai depender do problema!
Voltando a descrição do método, vemos que, sabendo o valor de em um ponto podemos calcular a sua derivada. Mas aqui fazemos o pulo do gato: vamos calcular os valores de em um número finito de pontos , todos eles espaçados por um passo , onde . Nesse caso podemos escrever a derivada como:
Só que quando temos um intervalo muuuuito pequeno, no caso tendendo a , ele pode ser aproximado pelo nosso passo , já que é o intervalo entre um ponto e outro também. O grande lance é que tentamos deixar esse passo o menor possível para aumentar a precisão, logo quando tende a , ele vira nosso . Com isso:
Logo, escrevendo , e sabendo que . Vemos que:
Essa é a fórmula do Método de Euler. É uma recursão, onde achamos em função de .
A questão vai te dar o , o e o . Daí, amigo, é só fazer conta. As aproximações seguem da seguinte forma:
Então, se tivéssemos:
E quiséssemos estimar , com , faríamos:
Para chegar em , partindo de a um passo , precisamos fazer duas iterações apenas. Pois de para , é uma iteração e de para é uma outra iteração. Então, nosso objetivo é achar o .
Além disso, já vimos que:
Pela fórmula de recorrência:
Para achar o :
Calculando o :
E esse é o nosso resultado para . 😊 Viu? Falei que você ia sair daqui sabendo resolver esse problema hehe.
Então, repare que se escolhêssemos um passo menor, faríamos mais iterações, já que demoraria mais para sair de para , e quanto mais iterações, mais próximos chegamos do valor real. Por isso, quanto menor o passo , mais preciso é o nosso resultado.
Algoritmo
Como a graça do cálculo numérico é aprender os métodos para que um computador calcule, se quiser implementar o Método de Euler no computador o algoritmo vai ser mais ou menos assim:
- Defina o passo
- Defina o intervalo em que vamos estimar :
- Pegamos um vetor onde vamos guardar os valores de e fazemos .
- Pra entre e fazemos
Vamos fazer uns exercícios pra você manjar tudo sobre o Método de Euler e arrasar na sua prova!
Lá vem o PVI
Entra o Cálculo Numérico
Algoritmo
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Ruggiero, M. A. e Lopes, V. L. R. Cálculo Numérico: aspectos teóricos e computacionais. 2 ed.São Paulo: Pearson Makron Books, 1996. Cápitulo 8. Exercício 15. (Adaptado)
Calcule para utilizando Euler com . Compare seus resultados com os valores exatos de nos pontos , sabendo que =
Passo 1
Temos essa EDO para analisar:
Onde:
e . E queremos .
Aqui vamos usar Euler de passo . Vamos montar uma tabelinha com os :
Logo, pela tabela, podemos encontrar uma relação entre . Percebemos que podemos escrever o seguinte:
Isso, porque os valores de são apenas múltiplos de .
Lembramos da fórmula de recorrência:
Nesse caso temos:
Passo 2
A fórmula de recorrência fica:
Substituindo :
Daí ficamos com:
E, aplicando sucessivamente a recorrência para os outros valores de , vamos obter:
Agora, vamos comparar com os valores reais da função = :
Logo o calculado é . Veja que os valores Método de Euler crescem mais devagar que os reais
Resposta
Exercício Resolvido #2
Ruggiero, M. A. e Lopes, V. L. R. Cálculo Numérico: aspectos teóricos e computacionais. 2 ed.São Paulo: Pearson Makron Books, 1996. Capítulo 8. Exercício 16. (Adaptado)
Considere o PVI:
Calcule aproximações para , usando o método de Euler com e :
Passo 1
Aqui vamos nós. Nessa questão está pedindo para calcular usar Euler com as seguintes configurações
e
Passo 2
Vamos tentar generalizar as coisas antes, já que estamos lidando com dois passos diferentes. Se liga:
Ou seja, um dado ponto é obtido através de vezes o valor do passo. Essa expressão é válida para qualquer passo.
Temos que :
A fórmula de recorrência fica:
Mas pera aí:
Logo:
Do mesmo jeito teremos podemos calcular :
Percebeu o que está acontecendo? Calculamos ,ee todos deram 1. Se quiséssemos calcular como o resultado seria o mesmo! Já que o termo depende do anterior podemos concluir que se trata de uma função constante!!
Normalmente, para resolver esse tipo de questão, o natural seria continuar o processo até que um que fosse referente ao ponto que é o que deseja avaliar.
Para o passo teríamos que ir até o , pois para teríamos:
Para o passo h=0,25, teríamos que ir até o , pois para , teríamos:
Mas que como nesse caso, todos os y darão o mesmo valor, a aproximação y será igual a, não importando o passo, pois o Método de Euler devolve uma função constante.
Legal né?(:
Resposta
em ambos os casos
Exercício Resolvido #3
Ruggiero, M. A. e Lopes, V. L. R. Cálculo Numérico: aspectos teóricos e computacionais. 2 ed.São Paulo: Pearson Makron Books, 1996. Cápitulo 8. Exercício 17. (Adaptado)
Considere o PVI:
Encontre a solução aproximada usando o método de Euler com e , considerando
Passo 1
Aqui vamos usar Euler com as seguintes configurações
e
Passo 2
A fórmula de recorrência fica:
Para :
Daí:
E sucessivamente obtemos:
Passo 3
Para
Daí:
E sucessivamente, obtemos:
Veja que obtemos uma diferença bastante significativa diminuindo o passo.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
Exercício Resolvido #4
Lista de exercícios - FEI
Dada a equação diferencial calcule 𝑇(2) e 𝑇(3) com 3 casas decimais, usando o método de Euler. Para t=1, temos T=3. Escrever as fórmulas adaptadas à questão.
Passo 1
Bom o professor já entregou pra gente a EDO separadinha do lado direito da igualdade e a derivada do lado esquerdo. Então o que a gente precisa agora é escrever a equação do Método de Euler adaptadas ao problema.
Show de bolinhas, vai ser tranquilo de resolver esse negócio!!
Passo 2
Bom a gente sabe que quando , temos . Então substituindo esses valores na equação que acabamos de encontrar, olha como fica.
Aeeeew, já temos metade da questão . Agora é só repetir o mesmo processo para obter o
Sabemos que quando , temos
Resposta
Exercício Resolvido #5
Lista de exercícios - FEI
Um indivíduo está recebendo uma injeção intravenosa de glicose na taxa constante de . É um fato biológico que, dentro de certos limites, o corpo utiliza a glicose em uma taxa proporcional à sua concentração na corrente sanguínea. A EDO que modela esta situação é: , onde é o volume de sangue no corpo do indivíduo, consideraremos que a quantidade de glicose injetada não altera V apreciavelmente. A mudança da concentração de glicose no sangue é o resultado de dois fatores: um aumento devido à injeção intravenosa permanente e a redução devida à retirada da glicose sanguínea pelo corpo. Em um tempo t qualquer, a taxa de mudança de concentração devida à injeção intravenosa permanente é , e a taxa de mudança de concentração devida aos processos metabólicos é −𝑘𝑦, para alguma constante positiva. Supondo , e , como calcular, pelo método de Euler, a concentração de glicose entre 10 e 14 minutos com 𝑒 ?
Passo 1
A EDO já tá separadinha pra gente, do lado direito da igualdade e a derivada do lado esquerdo. Então o que a gente precisa agora é escrever a equação do Método de Euler adaptadas ao problema. Bora substituir as constantes que o professor deu!
A fórmula de Euler geral é essa aqui:
Nós sabemos que o passo e pra esse problema, então substituindo na fórmula geral, vamos ter:
Show de bolinhas, vai ser tranquilo de resolver esse negócio!!
Passo 2
Bom a gente sabe que quando , temos . Então substituindo esses valores na equação que acabamos de encontrar, olha como fica.
Então sabemos agora que quando , temos . Com esses dados já podemos encontrar , é só aplicar novamente a equação adaptada, bora lá.
Bora achar o próximo,
Tamo quase no final, falta achar agora somente o .
Resposta
Exercício Resolvido #6
Lista de exercícios - FEI
Calcular a EDO no intervalo , para e passo . Resolver pelo método de Euler.
Passo 1
Falaaaa! td certinho?
Nessas questões a primeira coisa que você precisa é escrever a equação do Método de Euler adaptada ao problema. Então vamos a ela!!
Esse na fórmula, é tudo que estiver do lado direito da igualdade, separado de . Pra esse exercício fica assim...
Show de bolinhas, vai ser tranquilo de resolver esse negócio!!
Passo 2
Bom a gente sabe que quando , temos . É isso que ele quer dizer com esse .
Então substituindo esses valores na equação que acabamos de encontrar, olha como fica.
Metade da nossa questão ta garantida, já temos o . Agora é só repetir o mesmo processo para obter o .
Sabemos que quando , temos