Teoria

Introdução às EDO’s

Falaaaaa meus caros, espero que esteja tudo numa boa aí! Eu to mega feli, agora vamos começar um assuntinho que estamos prorrogando desde o início desse capítulo. CHEGOU A HORA DE RESOLVER EDO ATÉ SER O NINJA DAS EDO´S. Vamos sair desse tópico sabendo achar y ( 2 ) , se:

2 y - 2 = x y ' y 1 = 3

Eu não sei se você ta animado, mas eu estou!

Talvez você, meu jovem aprendiz, já tenha alguma noção da tal da Equação Diferencial e Ordinária, que carinhosamente chamamos de EDO. Mas, se é a primeira vez que você ouvir falar dela, nem se estresse, nós vamos explicar tudo tin tin por tin tin.

Uma EDO geralmente é uma equação com essa carinha aqui:

x 2 y ' ' + y ' x + cos ⁡ x = 0

Ou com essa:

2 y ' - 3 y + x = 0

Então, o que essa equação tem de tão especial? Uma EDO é uma equação que envolve uma função, suas derivadas, e uma variável independente. Nesse caso, temos uma y em função de uma variável independente x e a derivada dessa função, que é y ' . Uma observação é que essas letras podem mudar sem problemas, ok? Podemos ter uma função z de uma variável t , por exemplo. São apenas letras, só precisamos identificar cada uma!

Como identificar? A função possui uma derivada, a variável, não. 😉

E uma coisa que devemos saber sobre as EDO´s é que elas tem uma ordem. Basicamente, a ordem tem a ver com a maior derivada que aparece na nossa equação. Então, olhando os exemplos alí de cima vemos que a primeira EDO é de ordem 2 (a máxima derivada é de ordem 2) e a segunda de ordem 1. SHOOOW DE BOLA!

Lá vem o PVI

E um PVI? Dei uma retocada nele láaaa quando eu falei sobre os polinômios de Taylor. Só que agora vamos ver com mais carinho e atenção, já que ele será o foco do nosso estudo.

Afinal, o que é um PVI, Problema de Valor Inicial?

Calma meu jovem, não coloque a carroça na frente dos bois. Antes de falar o que é um PVI, vamos entender porque eles são tão comuns. Veja essa EDO:

y ' ' + y = 0

Resolver uma EDO é achar todas as funções y ( x ) que satisfazem à equação. Nesse caso, a solução é:

y = A cos ⁡ x + B sin ⁡ x

Onde A e B são constantes reais arbitrárias. Isto é, pra qualquer valores que a gente jogar nessas constantes, a função y sempre vai satisfazer à EDO. Chamamos isso de solução geral da EDO. Pra determinar uma função só, precisamos impor mais umas condições:

y ' ' + y = 0 y 0 = 2 y ' 0 = 3

Agora sim temos só uma solução! Vimos que a geral é:

y = A cos ⁡ x + B sin ⁡ x

Então, precisamos achar os valores de A e B . Para isso, vamos substituir os pontos que foram dados:

y 0 = 2

y ' 0 = 3

Onde y ' = - A sin ⁡ x + B cos ⁡ x . Fazendo y 0 = A cos ⁡ 0 + B sin ⁡ 0 = 2 e y ' 0 = - A sin ⁡ 0 + B cos ⁡ 0 = 3 , achamos os valores para A e B , que são:

A = 2

B = 3

Dessa forma, a resposta da EDO será:

y x = 2 cos ⁡ x + 3 sin ⁡ x

Isso aí é um PVI : a EDO mais os valores iniciais da função e de suas derivadas. Observe que para a nossa EDO aqui, que é de ordem 2 , temos 2 condições iniciais, sobre y e y ' . Se fosse de ordem 1 , precisaríamos só do valor de y ( 0 ) pra determinar a solução.

O Teorema da Existência e Unicidade nos diz que, para qualquer PVI de ordem n , ou seja, onde temos uma EDO de ordem n e também n condições iniciais, obtemos sempre uma única solução.

Dessa forma, o PVI serve para quando o valor da função e suas derivadas são especificados no mesmo ponto (para o mesmo valor da variável independente, x );

Entra o Cálculo Numérico

Até agora nós só generalizamos EDO, afinal, existem disciplinas que falam só delas ! Então, vamos trazer uma abordagem que vai te fazer desbravar essas terras desconhecidas. Bora lá?

Pra ajudar, as vezes nessas disciplinas você aprende a resolver um número limitado de EDO´s, geralmente só as bonitinhas, ou tipo essa aqui:

  y ' + e y 2 = 0

Só que, o cálculo numérico vai te ensinar a resolver qualquer tipo de EDO, e pasme, vamos fazer isso do jeito que sabemos fazer melhor.... APROXIMA TUDOOOOO.

E, para variar, teremos nossos limites, que serão os critérios de parada.

A abordagem mais tranquila para estimar uma inclinação é usar a equação diferencial para obter uma estimativa na forma da primeira derivada em x i .

Então temos o Método de Euler, ele serve para resolver Problemas de Valor Inicial de primeira ordem, então ele é bem tranquilinho. Já que você deve conhecer só os palpites e valores iniciais e a equação vai ter no máaaaaximo derivadas de ordem um .

Veja bem, a lógica é tranquilona. Suponha que queremos saber valores da função y definida pelo seguinte PVI:

y ' = f x , y y x 0 = y 0

Nesse intervalo nós conhecemos o intervalo x 0 , x f . Aqui vai uma observação que talvez demore um pouco pra você entender, talvez só depois de você ver a parte de Equações de Ordem Superior, então se parecer meio nada a ver agora, não se preocupe e siga em frente: o y pode ser um vetor de funções! Nesse caso as fórmulas são as mesmas, só vamos ter mais contas na hora de resolver os exercícios.

Talvez você se confunda em achar o f na hora de resolver o exercício, mas saca só. Na EDO:

2 y - 2 = x y '

O f vai ser:

f ( x , y ) = 2 y - 2 x

Viu o que aconteceu? Nós escrevemos a derivada em função do y .

OBS.: Repare que y pode ser em função de x , de t ou qualquer outra variável, isso vai depender do problema!

Voltando a descrição do método, vemos que, sabendo o valor de y em um ponto t podemos calcular a sua derivada. Mas aqui fazemos o pulo do gato: vamos calcular os valores de y em um número finito de pontos t n , todos eles espaçados por um passo h , onde   h = t n + 1 - t n . Nesse caso podemos escrever a derivada como:

y ' t n = lim Δ t → 0 ⁡ y t n + Δ t - y t n Δ t

Só que quando temos um intervalo ∆ t muuuuito pequeno, no caso tendendo a 0 , ele pode ser aproximado pelo nosso passo h , já que h é o intervalo entre um ponto e outro também. O grande lance é que tentamos deixar esse passo o menor possível para aumentar a precisão, logo quando ∆ t tende a 0 , ele vira nosso h . Com isso:

y ' ( t n ) ≈ y t n + h - y t n h

Logo, escrevendo y t n = y n , y t n + h = y n + 1 e sabendo que y ' t n = f ( t n , y n ) . Vemos que:

f t n ,   y n = y n + 1 - y n h

y n + 1 = y n + h f ( t n , y n )

Essa é a fórmula do Método de Euler. É uma recursão, onde achamos y n + 1 em função de y n .

A questão vai te dar o f , o y 0 e o h . Daí, amigo, é só fazer conta. As aproximações seguem da seguinte forma:

y x 0 ≈ y 0

y x 0 + h ≈ y 1

y x 0 + 2 h ≈ y 2

y x 0 + n h ≈ y n

Então, se tivéssemos:

2 y - 2 = x y ' y 1 = 3

E quiséssemos estimar y ( 2 ) , com h = 0,5 , faríamos:

x 0 = 1 ,   y 0 = 3

Para chegar em x = 2 , partindo de x = 1 a um passo h = 0,5 , precisamos fazer duas iterações apenas. Pois de x 0 = 1 para x 1 = 1,5 , é uma iteração e de x 1 = 1,5 para x 2 = 2 é uma outra iteração. Então, nosso objetivo é achar o y 2 .

Além disso, já vimos que:

y ' = f x , y = 2 y - 2 x

Pela fórmula de recorrência:

y n + 1 = y n + h f ( x , y )

Para achar o y 1 :

y 1 = y 0 + h 2 y 0 - 2 x 0 = 3 + 0,5 2 3 - 2 1 = 5

Calculando o y 2 :

y 2 = y 1 + h 2 y 1 - 2 x 1 = 5 + 0,5 2 5 - 2 1,5 ≈ 7,67

E esse é o nosso resultado para y ( 2 ) . 😊 Viu? Falei que você ia sair daqui sabendo resolver esse problema hehe.

Então, repare que se escolhêssemos um passo menor, faríamos mais iterações, já que demoraria mais para sair de x 0 = 1 para x n = 2 , e quanto mais iterações, mais próximos chegamos do valor real. Por isso, quanto menor o passo h , mais preciso é o nosso resultado.

Algoritmo

Como a graça do cálculo numérico é aprender os métodos para que um computador calcule, se quiser implementar o Método de Euler no computador o algoritmo vai ser mais ou menos assim:

  1. Defina o passo h
  2. Defina o intervalo em que vamos estimar f : [ x 0 , x f = x 0 + n ⋅ h ]
  3. Pegamos um vetor y onde vamos guardar os valores de f e fazemos y 0 = y 0 .
  4. Pra i entre 1   e n fazemos y i = y i - 1 + h f x 0 + i - 1 h , y i

Vamos fazer uns exercícios pra você manjar tudo sobre o Método de Euler e arrasar na sua prova!

Lá vem o PVI

Entra o Cálculo Numérico

Algoritmo

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Calcule y ( 1 ) para y ' = y - x ; y 0 = 2 utilizando Euler com h = 0,2 . Compare seus resultados com os valores exatos de y ( x ) nos pontos x i , sabendo que y ( x ) = e x + x + 1

Passo 1

Temos essa EDO para analisar:

f x , y = y ' = y - x

Onde:

y 0 = 2 e h = 0,2 . E queremos y ( 1 ) .

Aqui vamos usar Euler de passo 0,2 . Vamos montar uma tabelinha com os x :

Logo, pela tabela, podemos encontrar uma relação entre x n . Percebemos que podemos escrever o seguinte:

x n = 0,2 n

Isso, porque os valores de x são apenas múltiplos de 0,2 .

Lembramos da fórmula de recorrência:

y n + 1 = y n + h f x , y

Nesse caso temos:

f x , y = y - x

y 0 = 2

h = 0,2

Passo 2

A fórmula de recorrência fica:

y n + 1 = y n + 0,2 y n - x n

Substituindo x n :

y n + 1 = y n + 0,2 y n - n ⋅ 0,2

y n + 1 = 1,2 y n - 0.04 ⋅ n

Daí ficamos com:

y 0,2 = 1,2 ⋅ 2 = 2,4

E, aplicando sucessivamente a recorrência para os outros valores de x , vamos obter:

Agora, vamos comparar com os valores reais da função y ( x ) = e x + x + 1 :

Logo o y ( 1 ) calculado é 4.48832 . Veja que os valores Método de Euler crescem mais devagar que os reais

Resposta

y 1 = 4.48832

Exercício Resolvido #2

Considere o PVI:

{ y ' = y 2 - 1 x 2 + 1   y 0 = 1  

Calcule aproximações para y ( 1 ) , usando o método de Euler com h = 0,2 e h = 0,25 :

Passo 1

Aqui vamos nós. Nessa questão está pedindo para calcular usar Euler com as seguintes configurações

f x , y = y 2 - 1 x 2 + 1

y 0 = 1

h = 0,2 e h = 0,25

Passo 2

Vamos tentar generalizar as coisas antes, já que estamos lidando com dois passos diferentes. Se liga:

x n = n h

Ou seja, um dado ponto x n é obtido através de n vezes o valor do passo. Essa expressão é válida para qualquer passo.

Temos que :

f x , y = y ' = y 2 - 1 x 2 + 1

A fórmula de recorrência fica:

y n + 1 = y n + h y n 2 - 1 n 2 h 2 + 1

Mas pera aí:

y 0 = 1

Logo:

y 0 + 1 = y 0 + h y 0 2 - 1 n 2 h 2 + 1

y 1 = 1 + h 1 - 1 n 2 h 2 + 1 = 1

y 1 = 1 + 0 n 2 h 2 + 1 = 1

Do mesmo jeito teremos podemos calcular y 2 :

y 1 + 1 = y 1 + h y 1 2 - 1 n 2 h 2 + 1

y 2 = 1 + h 1 - 1 n 2 h 2 + 1 = 1

y 2 = 1

Percebeu o que está acontecendo? Calculamos y 0 , y 1 e y 2 e todos deram 1. Se quiséssemos calcular y 3 como y 2 = 1 o resultado seria o mesmo! Já que o termo y n depende do anterior y n - 1 podemos concluir que se trata de uma função constante!!

Normalmente, para resolver esse tipo de questão, o natural seria continuar o processo até que um y n que fosse referente ao ponto   x = 1 que é o que deseja avaliar.

Para o passo h = 0,2 teríamos que ir até o y 5 , pois para n = 5 teríamos:

  x = 5 h = 5 * 0,2 = 1  

Para o passo h=0,25, teríamos que ir até o y 4 , pois para n = 4 , teríamos:

x = 4 h = 4 * 0,25 = 1  

Mas que como nesse caso, todos os y darão o mesmo valor, a aproximação y será igual a   y 0 = 1 , não importando o passo, pois o Método de Euler devolve uma função constante.

Legal né?(:

Resposta

y 1 = 1 em ambos os casos

Exercício Resolvido #3

Considere o PVI:

y ' = y x 2 - y y 0 = 1

Encontre a solução aproximada usando o método de Euler com h = 0,5 e h = 0,25 , considerando x ∈ [ 0,2 ]

Passo 1

Aqui vamos usar Euler com as seguintes configurações

f t , y = y t 2 - y

y 0 = 1

h = 0,5 e h = 0,25

Passo 2

A fórmula de recorrência fica:

y n + 1 = y n + h ( y n n 2 h 2 - y n )

Para h = 0,5 :

y n + 1 = y n ( 0,5 + 0.125 n 2 )

Daí:

y 0,5 = 1 0,5 = 0,5

E sucessivamente obtemos:

Passo 3

Para h = 0,25 :

y n + 1 = y n ( 0.75 + 0.015625 n 2 )

Daí:

y 0,25 = 0,75

E sucessivamente, obtemos:

Veja que obtemos uma diferença bastante significativa diminuindo o passo.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercício Resolvido #4

Dada a equação diferencial T ' = t . c o s ( t + T ) calcule 𝑇(2) e 𝑇(3) com 3 casas decimais, usando o método de Euler. Para t=1, temos T=3. Escrever as fórmulas adaptadas à questão.

Passo 1

Bom o professor já entregou pra gente a EDO separadinha f t , T do lado direito da igualdade e a derivada do lado esquerdo. Então o que a gente precisa agora é escrever a equação do Método de Euler adaptadas ao problema.

T t + h = T t + h * f ( t , T )

T t + 1 = T t + 1 * ( t * c o s ⁡ ( t + T ) )

Show de bolinhas, vai ser tranquilo de resolver esse negócio!!

Passo 2

Bom a gente sabe que quando t = 1 , temos T = 3 . Então substituindo esses valores na equação que acabamos de encontrar, olha como fica.

T t + 1 = T t + 1 * ( t * c o s ⁡ ( t + T ) )

T 1 + 1 = T 1 + 1 * ( 1 * c o s ⁡ ( 1 + 3 ) )

T 2 = 3 + cos ⁡ 1 + 3 = 2.346

Aeeeew, já temos metade da questão T ( 2 ) . Agora é só repetir o mesmo processo para obter o T ( 3 )

Sabemos que quando t = 2 , temos T = 2.346

T t + 1 = T t + 1 * ( t * c o s ⁡ ( t + T ) )

T 3 = T 2 + ( 2 * c o s ⁡ ( 2 + 2.346 ) )

T 3 = 2.346 + 2 * cos ⁡ 2 + 2.346 = 1.6295

Resposta

T 2 = 2.346

T 3 = 1.629

Exercício Resolvido #5

Um indivíduo está recebendo uma injeção intravenosa de glicose na taxa constante de c m g m i n . É um fato biológico que, dentro de certos limites, o corpo utiliza a glicose em uma taxa proporcional à sua concentração na corrente sanguínea. A EDO que modela esta situação é: y ' t = c V - k y , onde V é o volume de sangue no corpo do indivíduo, consideraremos que a quantidade de glicose injetada não altera V apreciavelmente. A mudança da concentração de glicose no sangue é o resultado de dois fatores: um aumento devido à injeção intravenosa permanente e a redução devida à retirada da glicose sanguínea pelo corpo. Em um tempo t qualquer, a taxa de mudança de concentração devida à injeção intravenosa permanente é c V , e a taxa de mudança de concentração devida aos processos metabólicos é −𝑘𝑦, para alguma constante k positiva. Supondo c = 12   m g / m i n , V = 5 l e k = 0.12 , como calcular, pelo método de Euler, a concentração de glicose entre 10 e 14 minutos com y 0 = 12.5 𝑒 h   =   1 ?

Passo 1

A EDO já tá separadinha pra gente, f t , y do lado direito da igualdade e a derivada do lado esquerdo. Então o que a gente precisa agora é escrever a equação do Método de Euler adaptadas ao problema. Bora substituir as constantes que o professor deu!

y ' t = 12 5 - 0.12 y = 2.4 - 0.12 y

A fórmula de Euler geral é essa aqui:

y t + h = y t + h * f ( t , y )

Nós sabemos que o passo h = 1 e f t , y = 2.4 - 0.12 y pra esse problema, então substituindo na fórmula geral, vamos ter:

y t + 1 = y t + ( 2.4 - 0.12 y ( t ) )

Show de bolinhas, vai ser tranquilo de resolver esse negócio!!

Passo 2

Bom a gente sabe que quando t = 10 , temos = 12.5 . Então substituindo esses valores na equação que acabamos de encontrar, olha como fica.

y t + 1 = y t + ( 2.4 - 0.12 y ( t ) )

y 11 = y 10 + ( 2.4 - 0.12 * y ( 10 ) )

y 11 = 12.5 + 2.4 - 0.12 * 12.5 = 13.40

Então sabemos agora que quando t = 11 , temos y = 13.40 . Com esses dados já podemos encontrar y ( 12 ) , é só aplicar novamente a equação adaptada, bora lá.

y 12 = y 11 + ( 2.4 - 0.12 * y ( 11 ) )

y 12 = 13.4 + 2.4 - 0.12 * 13.4 = 14.19

Bora achar o próximo, y 13 :

y 13 = y 12 + ( 2.4 - 0.12 * y ( 12 ) )

y 13 = 14.19 + 2.4 - 0.12 * 14.19 = 14.89

Tamo quase no final, falta achar agora somente o y ( 14 ) .

y 14 = y 13 + ( 2.4 - 0.12 * y ( 13 ) )

y 14 = 14.89 + 2.4 - 0.12 * 14.89 = 15.50

Resposta

y 11 = 13.40

y 12 = 14.19

y 13 = 14.89

y 14 = 15.50

Exercício Resolvido #6

Calcular a EDO y ' = 1 x + y no intervalo 1 ≤ x ≤ 2 , para y 0 = 2 e passo h = 0.5 . Resolver pelo método de Euler.

Passo 1

Falaaaa! td certinho?

Nessas questões a primeira coisa que você precisa é escrever a equação do Método de Euler adaptada ao problema. Então vamos a ela!!

y x + h = y x + h * f ( x , y )

Esse f ( x , y ) na fórmula, é tudo que estiver do lado direito da igualdade, separado de y ' . Pra esse exercício fica assim...

y x + 0.5 = y x + 0.5 1 x + y

Show de bolinhas, vai ser tranquilo de resolver esse negócio!!

Passo 2

Bom a gente sabe que quando x = 1 , temos y = 2 . É isso que ele quer dizer com esse y 0 .

Então substituindo esses valores na equação que acabamos de encontrar, olha como fica.

y x + 0.5 = y x + 0.5 1 x + y

y 1.5 = y 1 + 0.5 1 1 + 2 = 3.5

Metade da nossa questão ta garantida, já temos o y ( 1.5 ) . Agora é só repetir o mesmo processo para obter o y ( 2 ) .

Sabemos que quando y = 3.5 , temos x = 1.5

y x + 0.5 = y x + 0.5 1 x + y

y 2 = y 1.5 + 0.5 1 x + y

y 2 = 3.5 + 0.5 1 1.5 + 3.5 = 5.583

Resposta

y 1.5 = 3.5

y 2 = 5.583

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