Teoria

Faaala gente, você já deve ter se deparado em algum momento com a ideia de concavidade de uma função. Lá no ensino médio, aprendemos uma regrinha para saber quando temos a concavidade para cima (ou para baixo) em uma função do segundo grau.

Mas e se temos uma função, tipo essa aqui?

f x = x e - 3 x

Como sabemos que concavidade ela vai ter?

Para nos ajudar com esse problema, vamos ter a ajuda da nossa querida derivada.

Então hehe, chegou a hora de a gente estudar a concavidade de umas funções!

Ok, ok. Talvez concavidade não seja um assunto tããão empolgante assim, mas você vai ver que isso tudo é bastante útil, prometo.

Antes de falar quando uma função é côncava para cima ou para baixo, vamos relembrar o que é concavidade em si. A concavidade é a “concha” da função.

Chamamos a função à esquerda (em vermelho) de côncava para baixo e a da direita (em azul) de côncava para cima.

Então, com essa ideia vamos ver algumas funções.

Concavidades em funções do segundo grau

Mas antes de partimos para o universo das derivadas, nós todos estudávamos concavidade em funções do segundo grau no colégio. Vamos recordar a regrinha da concavidade?

Nós tínhamos um polinômio de segundo grau da forma:

f x = a x 2 + b x + c

E a concavidade era pra cima quando:

a > 0

E para baixo quando:

a < 0

Uma forma de você lembrar isso tudo é se preocupando com os sentimentos da função e notando que ela pode estar triste ou feliz, conforme você pode observar abaixo. Quando o a é positivo, é sexta-feira, a função sorri e é côncava para cima:

Quando é negativo, é segunda-feira e ela está triste. Esses olhos no gráfico da função estão aí para interpretação das atrizes-parábolas serem mais convincente:

Concavidade por meio da derivada segunda

Em casos maais difíceis, como a que vimos no início:

f x = x e - 3 x

Não temos como descobrir só batendo o olho nela, se a concavidade é para cima ou para baixo.

Para isso, vou te falar de um truque que a derivada faz pra gente, é só seguir esses dois passos aqui:

1º Passo: Pega a função e deriva ela duas vezes, ou seja, pega a derivada segunda.

2º Passo: Estuda o sinal de f ' ' ( x ) , onde ela for positiva a concavidade vai ser para cima. E onde ela for negativa a concavidade é para baixo.

Então, vamos fazer o nosso exemplo:

f x = x e - 3 x

1º Passo: Pega a função e deriva ela duas vezes, ou seja, pega a derivada segunda.

Derivando a primeira vez:

f ' x = 1 e - 3 x + x - 3 e - 3 x = 1 - 3 x e - 3 x

Derivando novamente:

f ' ' x = - 3 e - 3 x + 1 - 3 x - 3 e - 3 x = 9 x - 6 e - 3 x

2º Passo: Estuda o sinal de f ' ' ( x ) , onde ela for positiva a concavidade vai ser para cima. E onde ela for negativa a concavidade é para baixo.

Ou seja, queremos saber quando f ' ' ( x ) > 0 e f ' ' ( x ) < 0

Então:

( 9 x - 6 ) e - 3 x > 0

Como e - 3 x é uma exponencial, ela nunca vai ser menor que 0, podemos elevar a qualquer número e sempre vai ser positivo.

Assim, precisamos estudar o sinal apenas de ( 9 x - 6 ) , quando ela for positiva, vamos ter positivo com positivo se multiplicando e o resultado vai ser positivo. E quando for negativo teremos positivo com negativo que resulta em negativo.

Assim:

( 9 x - 6 ) > 0

9 x > 6

x > 6 9   o u   x > 2 3

E vai ser negativa quando:

x < 2 3

Assim, antes do 2 3 a função tem concavidade pra baixo e quando x for maior que 2 3 a função tem concavidade para cima.

Agora, vamos experimentar aplicar a regra da derivada segunda para observar a regrinha da função do segundo grau?

f x = a x 2 + b x + c

1º Passo: Pega a função e deriva ela duas vezes, ou seja, pega a derivada segunda.

f ' x = 2 a x + b

f ' ' x = 2 a

2º Passo: Estuda o sinal de f ' ' ( x ) .

A regra nos diz que a concavidade é para cima quando f ' ' > 0 e para baixo quando f ' ' < 0 .

f ' ' x > 0 → 2 a > 0

f ' ' x < 0 → 2 a < 0

Não é a mesma coisa? Sim, essa constante “ 2 ” que apareceu não influencia em nada na inequação! As regras são equivalentes, só que a nossa regra de derivada segunda é mais genérica, isto é, ela vale para todas as funções.

Pontos de inflexão

Já vimos que a concavidade é para cima quando f ' ' > 0 e para baixo quando f ' ' < 0 . Mas e quando f ' ' x = 0 ?

Esse é o nosso querido ponto de inflexão.

Esse ponto é elemento importante e que ajuda bastante na hora de construir os e ele nada mais é do que o ponto onde a função troca a concavidade.

Se estava pra cima, passa a ser pra baixo, e vice-versa. Mas você pode estar se perguntando: “E como eu acho esse ponto?” Muito simples. Basta achar as raízes da derivada segunda! Vamos ver com mais detalhe no exemplo.

Um exemplo bacana de concavidade é a função x 3 . Dá pra enxergar direitinho que a concavidade dela muda na origem:

Pois temos que f ' x = 3 x 2 e, portanto, f ' ' x = 6 x . Agora, qual o valor de x pra que f ' ' x = 0 ? Ou seja, qual a raiz de f ' ' ( x ) ?

Nesse caso, a raiz da derivada segunda, f ' ' x = 6 x , é x = 0 . Assim, o ponto x = 0 é um ponto de inflexão pra função x 3 . Então, como podemos ver no desenho, esse é o ponto onde a concavidade muda: antes era para baixo, depois foi para cima.

Concavidades em funções do segundo grau

Concavidade por meio da derivada segunda

Pontos de inflexão

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