Teoria
Faaala gente, você já deve ter se deparado em algum momento com a ideia de concavidade de uma função. Lá no ensino médio, aprendemos uma regrinha para saber quando temos a concavidade para cima (ou para baixo) em uma função do segundo grau.
Mas e se temos uma função, tipo essa aqui?
Como sabemos que concavidade ela vai ter?
Para nos ajudar com esse problema, vamos ter a ajuda da nossa querida derivada.
Então hehe, chegou a hora de a gente estudar a concavidade de umas funções!
Ok, ok. Talvez concavidade não seja um assunto tããão empolgante assim, mas você vai ver que isso tudo é bastante útil, prometo.
Antes de falar quando uma função é côncava para cima ou para baixo, vamos relembrar o que é concavidade em si. A concavidade é a “concha” da função.
Chamamos a função à esquerda (em vermelho) de côncava para baixo e a da direita (em azul) de côncava para cima.
Então, com essa ideia vamos ver algumas funções.
Concavidades em funções do segundo grau
Mas antes de partimos para o universo das derivadas, nós todos estudávamos concavidade em funções do segundo grau no colégio. Vamos recordar a regrinha da concavidade?
Nós tínhamos um polinômio de segundo grau da forma:
E a concavidade era pra cima quando:
E para baixo quando:
Uma forma de você lembrar isso tudo é se preocupando com os sentimentos da função e notando que ela pode estar triste ou feliz, conforme você pode observar abaixo. Quando o é positivo, é sexta-feira, a função sorri e é côncava para cima:
Quando é negativo, é segunda-feira e ela está triste. Esses olhos no gráfico da função estão aí para interpretação das atrizes-parábolas serem mais convincente:
Concavidade por meio da derivada segunda
Em casos maais difíceis, como a que vimos no início:
Não temos como descobrir só batendo o olho nela, se a concavidade é para cima ou para baixo.
Para isso, vou te falar de um truque que a derivada faz pra gente, é só seguir esses dois passos aqui:
1º Passo: Pega a função e deriva ela duas vezes, ou seja, pega a derivada segunda.
2º Passo: Estuda o sinal de , onde ela for positiva a concavidade vai ser para cima. E onde ela for negativa a concavidade é para baixo.
Então, vamos fazer o nosso exemplo:
1º Passo: Pega a função e deriva ela duas vezes, ou seja, pega a derivada segunda.
Derivando a primeira vez:
Derivando novamente:
2º Passo: Estuda o sinal de , onde ela for positiva a concavidade vai ser para cima. E onde ela for negativa a concavidade é para baixo.
Ou seja, queremos saber quando e
Então:
Como é uma exponencial, ela nunca vai ser menor que 0, podemos elevar a qualquer número e sempre vai ser positivo.
Assim, precisamos estudar o sinal apenas de , quando ela for positiva, vamos ter positivo com positivo se multiplicando e o resultado vai ser positivo. E quando for negativo teremos positivo com negativo que resulta em negativo.
Assim:
E vai ser negativa quando:
Assim, antes do a função tem concavidade pra baixo e quando x for maior que a função tem concavidade para cima.
Agora, vamos experimentar aplicar a regra da derivada segunda para observar a regrinha da função do segundo grau?
1º Passo: Pega a função e deriva ela duas vezes, ou seja, pega a derivada segunda.
2º Passo: Estuda o sinal de .
A regra nos diz que a concavidade é para cima quando e para baixo quando .
Não é a mesma coisa? Sim, essa constante “” que apareceu não influencia em nada na inequação! As regras são equivalentes, só que a nossa regra de derivada segunda é mais genérica, isto é, ela vale para todas as funções.
Pontos de inflexão
Já vimos que a concavidade é para cima quando e para baixo quando . Mas e quando ?
Esse é o nosso querido ponto de inflexão.
Esse ponto é elemento importante e que ajuda bastante na hora de construir os e ele nada mais é do que o ponto onde a função troca a concavidade.
Se estava pra cima, passa a ser pra baixo, e vice-versa. Mas você pode estar se perguntando: “E como eu acho esse ponto?” Muito simples. Basta achar as raízes da derivada segunda! Vamos ver com mais detalhe no exemplo.
Um exemplo bacana de concavidade é a função . Dá pra enxergar direitinho que a concavidade dela muda na origem:
Pois temos que e, portanto, . Agora, qual o valor de pra que ? Ou seja, qual a raiz de ?
Nesse caso, a raiz da derivada segunda, , é . Assim, o ponto é um ponto de inflexão pra função . Então, como podemos ver no desenho, esse é o ponto onde a concavidade muda: antes era para baixo, depois foi para cima.