Seja f derivável até a 2^a ordem em R e tal que, para todo x , x * f''(x) + f'(x) = 4 .

a) Mostre que f'' é contínua em todo x ≠ 0

b) Mostre que f não admite ponto de inflexão horizontal

Passo 1

a) Se x ≠ 0 , teremos:

x   f ' ' x + f ' x = 4

f ' ' x = 4 - f ' x x

Como f é derivável, temos f ' contínua. Já que a subtração e divisão de funções contínuas é contínua, temos que f ' ' x = 4 - f ' x x é contínua.

Logo, f ' ' é contínua em todo x ≠ 0 .

Passo 2

b) Vamos supor, por contradição, que existe p ∈ R tal que p é ponto de inflexão horizontal de f , e substituí-lo na equação do enunciado:

x   f ' ' x + f ' x = 4

p   f ' ' p + f ' p = 4

Lembre-se de que, para p ser ponto de inflexão, devemos ter f ' ' p = 0 . Além disso, como p é um ponto de inflexão horizontal, f ' p = 0 . Então a equação ficará assim:

p   .   0 + 0 = 4

0 = 4

Contradição! Logo, f não pode ter ponto de inflexão horizontal.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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