Sejam uma função derivável até a ordem no intervalo aberto e . Suponha contínua em . Prove que

e

é uma condição suficiente para ser ponto de inflexão de . Generalize tal resultado.

Já que é a derivada de , isso significa que indica que é crescente e indica que é decrescente.

Sendo assim, como se e se , e , teremos que o gráfico de decresce para à medida que se aproxima do ponto (pela esquerda), e então começa a crescer à direita do ponto .

Para te ajudar a compreender, você pode imaginar o gráfico de como uma parábola com concavidade para cima, cujo vértice é o ponto .

Com isso, concluímos que a derivada é positiva na vizinhança do ponto , o que implica que é estritamente crescente em torno de .

Note que esse é o mesmo caso de quando tomamos e concluímos que é estritamente crescente em torno de .

Assim, na vizinhança de , teremos:

Ou seja, já tínhamos que e agora sabemos que os sinais de à direita e à esquerda de são contrários.

Isso mostra que é realmente um ponto de inflexão de .

Perceba que existe um padrão nos procedimentos, que se repete a cada duas derivadas.

As implicações que tivemos entre e foram bem parecidas com as que tivemos entre e .

Além disso, se tivéssemos apenas e , também concluiríamos que é ponto de inflexão de .

Com isso, podemos generalizar o resultado assim: Sejam uma função derivável até a -ésima ordem (com ímpar) no intervalo aberto e . Suponha contínua em . Então

e

é uma condição suficiente para ser ponto de inflexão de .