Taxa Relacionada
Produzido por Arthur Melo de AlmeidaTeoria
Introdução
A gente passou o tempo todo falando de derivada de uma função qualquer, mas isso está mais teórico que aula de educação física dentro de sala hehe, vamos ver a partir de agora uma abordagem mais prática.
Já vimos no capítulo de derivada por definição, que a derivada em si pode ser vista como uma taxa de variação instantânea.
Por exemplo, se temos uma função posição de uma partícula , podemos calcular a velocidade instantânea dela em certo momento t, por apenas derivar. Ou seja:
Mas existem momentos em que não conseguimos calcular uma Taxa de variação diretamente, por isso vamos ter que relaciona-la com alguma outra que seja mais simples de encontrar.
Um exemplo é a área de um quadrado, à medida que cresce seu lado, a sua área também cresce á uma determinada taxa, mas como podemos ver como elas se comportam em um certo instante? É ai que vamos ver o papel desempenhado pela nossa linda Derivada.
Taxa de Variação
Segura as pontas que já vamos encontrar a solução do nosso problema do quadrado, antes vamos ver mais um pouquinho sobre a taxa de variação instantânea.
Pra nos ajudar, vamos pensar num exemplo:Vamos supor que uma pedrinha cai do topo de um edifício de altura . Qual a velocidade instantânea dessa pedrinha para ?
O problema aqui é: como determinar a taxa de variação entre e assim?
Bom, a pedra seguirá a trajetória de queda livre, que é descrita assim:
A velocidade instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo:
Então, bora derivar o :
Sabe o que acabamos de calcular? A taxa de variação instantânea da posição em relação ao tempo! Ela nada mais é que a derivada da posição () em relação ao tempo ( ou ).
Taxa relacionada
Agora, vamos quebrar um pouco a cabeça no nosso problema do quadrado.
Se um quadrado de lado e área tem seu lado crescendo a quando vale , a que taxa cresce a sua área nesse mesmo instante?
Por onde começa isso, e que raios de pergunta é essa? O cara do Responde Aí enlouqueceu?
Vamos lá. Imagine que e são funções do tempo. Nós não sabemos como é essa função de cada um no tempo, porém sabemos que a área de um quadrado é dada assim:
Mas como eu disse, ambos são função do tempo, certo?
Eu quero a taxa com que varia essa área aí. Para isso é interessante achar a taxa de variação da área pelo tempo. Ou seja, a derivada de por ! Então, que tal derivar essa igualdade em relação ao tempo?
Mas repare, é função de , que é função do tempo. É como se tivéssemos uma função composta no ! Nesse caso, temos que derivar com a Regra da Cadeia, e vai aparecer:
E esse vem da Regra da Cadeia para derivar em relação ao tempo a equação.
No instante tratado, e . Assim,
Ao calcular a relação entre as derivadas, relacionamos as taxas de variação de e em relação à .
=
Logo, você terá uma equação que relaciona as variáveis do problema (no caso aqui, ). Todas serão função do tempo. Você derivará tudo em função do tempo, e aparecerão termos de taxas (com uma cara de ou , como no exemplo).
Assim, substituímos as informações do problema e descobrimos a taxa desejada!
Passo a passo para resolver problemas de taxa relacionada
Vou agora te dar umas dicas para resolver esses probleminhas, quando pegar esses exercícios faz isso:
1º Passo: Veja que informação foi dada e qual é a sua incógnita
No caso do quadrado, nós tínhamos a taxa de crescimento do lado e queríamos (incógnita) a taxa de crescimento da área.
2º Passo: Expresse as duas em como derivadas.
Então a taxa de crescimento do lado com relação ao tempo é:
E a nossa incógnita era a taxa da área com relação ao tempo:
3º Passo: Encontre uma equação que relaciona a sua incógnita com o que foi dado, e deriva ela.
Como no nosso exemplo estávamos falando de lado e área de um quadrado usamos a equação:
E derivamos usando a regra da cadeia.
4ºPasso: Substitua as informações dadas no exercício.
É isso, agora bora dar uma treinadinhaa.