Teoria

Introdução

A gente passou o tempo todo falando de derivada de uma função qualquer, mas isso está mais teórico que aula de educação física dentro de sala hehe, vamos ver a partir de agora uma abordagem mais prática.

Já vimos no capítulo de derivada por definição, que a derivada em si pode ser vista como uma taxa de variação instantânea.

Por exemplo, se temos uma função posição de uma partícula s = f ( t ) , podemos calcular a velocidade instantânea dela em certo momento t, por apenas derivar. Ou seja:

d s d t = V e l o c i d a d e   i n s t a n t â n e a

Mas existem momentos em que não conseguimos calcular uma Taxa de variação diretamente, por isso vamos ter que relaciona-la com alguma outra que seja mais simples de encontrar.

Um exemplo é a área de um quadrado, à medida que cresce seu lado, a sua área também cresce á uma determinada taxa, mas como podemos ver como elas se comportam em um certo instante? É ai que vamos ver o papel desempenhado pela nossa linda Derivada.

Taxa de Variação

Segura as pontas que já vamos encontrar a solução do nosso problema do quadrado, antes vamos ver mais um pouquinho sobre a taxa de variação instantânea.

Pra nos ajudar, vamos pensar num exemplo:Vamos supor que uma pedrinha cai do topo de um edifício de altura s o = 20 m . Qual a velocidade instantânea dessa pedrinha para t = 2 s ?

O problema aqui é: como determinar a taxa de variação entre s e t assim?

Bom, a pedra seguirá a trajetória de queda livre, que é descrita assim:

s t = s 0 - g t 2 2 ⟹ s t = 20 - 9.8 t 2 2 ⟹ s t = 20 - 4.9 t ²

A velocidade instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo:

v ( t ) = lim Δ t → 0 ⁡ Δ S Δ t = s ' t = d s d t

Então, bora derivar o s :

v t = d s d t = - 9.8 t ⟹ v 2 = - 9.8 ⋅ 2 = - 19.6 m / s

Sabe o que acabamos de calcular? A taxa de variação instantânea da posição em relação ao tempo! Ela nada mais é que a derivada da posição ( s ) em relação ao tempo ( d s d t ou s ’ ( t ) ).

Taxa relacionada

Agora, vamos quebrar um pouco a cabeça no nosso problema do quadrado.

Se um quadrado de lado l e área A tem seu lado crescendo a 1   m / s quando vale l = 1   m , a que taxa cresce a sua área nesse mesmo instante?

Por onde começa isso, e que raios de pergunta é essa? O cara do Responde Aí enlouqueceu?

Vamos lá. Imagine que l e A são funções do tempo. Nós não sabemos como é essa função de cada um no tempo, porém sabemos que a área de um quadrado é dada assim:

A = l 2

Mas como eu disse, ambos são função do tempo, certo?

A t = l t 2

Eu quero a taxa com que varia essa área aí. Para isso é interessante achar a taxa de variação da área pelo tempo. Ou seja, a derivada de A t por t ! Então, que tal derivar essa igualdade em relação ao tempo?

A t ' = l t 2 '

Mas repare, A é função de l , que é função do tempo. É como se tivéssemos uma função composta no l t 2 ! Nesse caso, temos que derivar com a Regra da Cadeia, e vai aparecer:

d A t d t = 2 l t d l t d t

E esse d l t d t vem da Regra da Cadeia para derivar em relação ao tempo a equação.

No instante tratado, l t 0 = 1   m e l t 0 ' = d l t d t t 0 = 1   m / s . Assim,

d A t d t = 2 l t d l t d t = 2 1 1 ⟹ d A t d t = 2   m 2 / s

Ao calcular a relação entre as derivadas, relacionamos as taxas de variação de A e l em relação à t .

=

Logo, você terá uma equação que relaciona as variáveis do problema (no caso aqui, A = l 2 ). Todas serão função do tempo. Você derivará tudo em função do tempo, e aparecerão termos de taxas (com uma cara de d l t d t ou l t ' , como no exemplo).

Assim, substituímos as informações do problema e descobrimos a taxa desejada!

Passo a passo para resolver problemas de taxa relacionada

Vou agora te dar umas dicas para resolver esses probleminhas, quando pegar esses exercícios faz isso:

1º Passo: Veja que informação foi dada e qual é a sua incógnita

No caso do quadrado, nós tínhamos a taxa de crescimento do lado e queríamos (incógnita) a taxa de crescimento da área.

2º Passo: Expresse as duas em como derivadas.

Então a taxa de crescimento do lado com relação ao tempo é:

d l t d t

E a nossa incógnita era a taxa da área com relação ao tempo:

d A t d t

3º Passo: Encontre uma equação que relaciona a sua incógnita com o que foi dado, e deriva ela.

Como no nosso exemplo estávamos falando de lado e área de um quadrado usamos a equação:

A t = l t 2

E derivamos usando a regra da cadeia.

4ºPasso: Substitua as informações dadas no exercício.

É isso, agora bora dar uma treinadinhaa.

Taxa relacionada

Passo a passo para resolver problemas de taxa relacionada

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