Taxa Relacionada

Segura as pontas que já vamos encontrar a solução do nosso problema do quadrado, antes vamos ver mais um pouquinho sobre a taxa de variação instantânea.

Pra nos ajudar, vamos pensar num exemplo:Vamos supor que uma pedrinha cai do topo de um edifício de altura . Qual a velocidade instantânea dessa pedrinha para ?

O problema aqui é: como determinar a taxa de variação entre e assim?

Bom, a pedra seguirá a trajetória de queda livre, que é descrita assim:

A velocidade instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo:

Então, bora derivar o :

Sabe o que acabamos de calcular? A taxa de variação instantânea da posição em relação ao tempo! Ela nada mais é que a derivada da posição () em relação ao tempo ( ou ).

Taxa relacionada

Agora, vamos quebrar um pouco a cabeça no nosso problema do quadrado.

Se um quadrado de lado e área tem seu lado crescendo a quando vale , a que taxa cresce a sua área nesse mesmo instante?

Por onde começa isso, e que raios de pergunta é essa? O cara do Responde Aí enlouqueceu?

Vamos lá. Imagine que e são funções do tempo. Nós não sabemos como é essa função de cada um no tempo, porém sabemos que a área de um quadrado é dada assim:

Mas como eu disse, ambos são função do tempo, certo?

Eu quero a taxa com que varia essa área aí. Para isso é interessante achar a taxa de variação da área pelo tempo. Ou seja, a derivada de por ! Então, que tal derivar essa igualdade em relação ao tempo?

Mas repare, é função de , que é função do tempo. É como se tivéssemos uma função composta no ! Nesse caso, temos que derivar com a Regra da Cadeia, e vai aparecer:

E esse vem da Regra da Cadeia para derivar em relação ao tempo a equação.

No instante tratado, e . Assim,

Ao calcular a relação entre as derivadas, relacionamos as taxas de variação de e em relação à .

=

Logo, você terá uma equação que relaciona as variáveis do problema (no caso aqui, ). Todas serão função do tempo. Você derivará tudo em função do tempo, e aparecerão termos de taxas (com uma cara de ou , como no exemplo).

Assim, substituímos as informações do problema e descobrimos a taxa desejada!

Passo a passo para resolver problemas de taxa relacionada

Vou agora te dar umas dicas para resolver esses probleminhas, quando pegar esses exercícios faz isso:

1º Passo: Veja que informação foi dada e qual é a sua incógnita

No caso do quadrado, nós tínhamos a taxa de crescimento do lado e queríamos (incógnita) a taxa de crescimento da área.

2º Passo: Expresse as duas em como derivadas.

Então a taxa de crescimento do lado com relação ao tempo é:

E a nossa incógnita era a taxa da área com relação ao tempo:

3º Passo: Encontre uma equação que relaciona a sua incógnita com o que foi dado, e deriva ela.

Como no nosso exemplo estávamos falando de lado e área de um quadrado usamos a equação:

E derivamos usando a regra da cadeia.

4ºPasso: Substitua as informações dadas no exercício.

É isso, agora bora dar uma treinadinhaa.