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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.7 - Ex. 19

A quantidade de carga Q , em coulombs (C), que passa através de um ponto em um fio até o instante t (medido em segundos) é dada por

Q t = t 3 - 2 t 2 + 6 t + 2

Encontre a corrente quando (a) t = 0,5 s e (b) t = 1 s . [Veja o exemplo 3. A unidade de corrente é o ampère (1A=1C/s).] Em que instante a corrente é mais baixa?

Passo 1

Opa! O enunciado dá pra a gente a quantidade de carga Q , em coulombs (C), que passa através de um ponto em um fio até o instante t :

Q t = t 3 - 2 t 2 + 6 t + 2

Queremos encontrar a corrente I ( t ) quando (a) t = 0,5 s e (b) t = 1 s .

A corrente é nada mais nada menos do que a taxa de variação de Q em relação ao tempo!

I = d Q d t

Então, podemos calcular uma expressão para a corrente. Temos que:

I ( t ) = 3 t 2 - 4 t + 6

Passo 2

Agora, basta substituirmos na expressão de I os valores de t que foram dados no enunciado:

  1. t = 0,5 s

    2. I 0,5 = 3 ⋅ 0,5 2 - 4 ⋅ 0,5 + 6 = 4,75   A

  2. t = 1 s

I 1 = 3 ⋅ 1 2 - 4 ⋅ 1 + 6 = 3 - 4 + 6 = 5 A

Passo 3

Temos que a corrente é uma função do tempo, essa função terá um valor de mínimo (ou máximo) quando sua derivada for igual a zero, então, basta derivarmos I ( t ) em relação a t e igualarmos a zero. Daí

I ' t = 6 t - 4

6 t - 4 = 0

6 t = 4

t = 4 6 = 2 3 s ≈ 0,67 s

Resposta

  1. I = 4,75   A
  2. I = 5   A
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