Reta Tangente – Derivadas Implícitas

Teoria

Imagine que a gente queira calcular a reta tangente a uma circunferência de raio no ponto em que da circuferência.

Como a reta tangente passa por esse ponto, já podemos substituir na equação da reta:

Mas agora, qual o valor de ? Como achamos esse coeficiente angular, se não temos um como função de para derivar??

Usamos a derivada implicitamente! Vamos achar para essa equação implicitamente:

No ponto :

Como sabemos, a derivada é o coeficiente angular da reta tangente (). Então...

Agora não falta nada:

Para retas paralelas e perpendicular, é só usar a mesma ideia: calculado implicitamente como coeficiente angular.

UFPE, Cálculo 1, 2º EE - 2016.1, Questão 1

Aplicamos a derivada implícita nessa igualdade aí, com o cuidado de usar a Regra do Produto no primeiro termo e no termo do seno:

Agora vamos colocar o em evidência:

Sabemos que o coeficiente angular de uma reta modelada por valerá a derivada da função no ponto de tangência em que :

Logo, se , achamos :

Assim, a reta será

George B.Thomas, Cálculo Volume 1, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda, 2009, pp. 209-58. MODIFICADO

Encontre pontos na curva onde a tangente é paralela (a) ao eixo e (b) ao eixo .

A reta é paralela ao eixo , ou seja, horizontal. Se a reta é horizontal:

Precisamos determinar qual o valor de tal que isso seja verdade.

Sabemos que . Então vamos derivar implicitamente para igualar a esse valor:

Assim:

Quando , no ponto :

Substituindo na equação:

Nesses pontos, a reta tangente será horizontal.

Quando a reta é paralela ao eixo , a derivada não pode existir, ou seja, o denominador deve ser .

Substituindo na equação:

Nesses pontos, a reta tangente será vertical.