Cálculo de Volume pelas Seções Transversais

Vamos lá! Pra começar, a gente tem que usar o método de cálculo que aprendemos de Cálculo de Volumes por Seções Transversais. Pra isso, vamos lembrar do passo a passo dele:

1. Escolher um eixo para fazer os cortes das seções transversais. Ex:
2. Identificar a geometria da seção transversal e encontrar sua área. Ex:
3. Relacionar variáveis da fórmula da área da seção transversal com o eixo escolhido. Ex:
4. Encontrar sobre o eixo escolhido os valores no qual o sólido está definido, isto é, encontrar os limites de integração. Ex:
5. Integrar:

E olha só! O nosso sólido já nos dá algumas dicas! O eixo mesmo tá cheio de círculos diferentes em alturas diferentes de ! Então vou escolher ele mesmo e a minha área vai ser a área de um círculo. Por enquanto temos:

Show, agora pra fazer o terceiro passo, vamos ter que arranjar um jeito de escrever como uma função de . Bem, na equação da área de um círculo , como é uma constante, não vai ter jeito. Escreveremos da seguinte forma:

Isso aiiiinda não diz muito pra gente pois não sabemos quem é . Mas relaxa gafanhoto, pq olhando novamente pra figura da pra pescarmos a ideia. Saca só:

E saca só aquela fatia ali em . Pela figura conseguimos ver que o raio é a reta que sai do eixo e toca a curva , logo:

Então está feito! Se em temos o raio vai ter a seguinte fórmula:

E logo:

E ainda digo mais em! A imagem já mostra em que intervalos de o sólido está definido! Então fechamos o passo já que o sólido está definido entre e ao longo do eixo e modelamos finalmente a expressão do nosso volume:

Agora pra fechar com chave de ouro, só calcular o volume. Vamos ter:

Partiu então. Pra começar, vamos das uma olhada na esfera num ambiente 3D:

Beleza. Pela simetria então dessa esfera linda aí de cima, qualquer corte transversal perpendicular aos eixos resultará em um círculo. Se fizermos então perpendicular ao eixo vamos ter:

E somando as áreas dos infinitos círculos que podemos tirar com esse fatiamento, usamos a integral e achamos o volume da esfera:

Show, mas vamos modelar isso um pouco melhor. Veja, como a esfera está centrada na origem, em todos os eixos, ela está delimitada entre e . Pô, maravilha, então já sei os limites de integração:

E como todas as seções transversais são círculos a área deles vai ser:

E logo:

O que falta agora vai ser achar uma expressão pra essa integral ficar certinha e conseguirmos integrar. Bora lá então.

Agora pra pensar em como escrever o raio da seção transversal em função de , vamos olhar de novo pro corte que fizemos:

Note o seguinte, o raio do corte transversal lá de trás é maior que o corte transversal da frete! Só ver pela linha verde. Então de fato, a posição do corte determina o tamanho do raio. No plano podemos ver então os diferentes raios com diferentes tamanhos dependendo do corte:

Mas olha que bacana: todos eles saem do eixo e tocam na circunferência! Isso quer dizer que o tamanho deles é:

Como a equação da circunferência é:

Isolamos o e ficamos com:

Como a integral era:

Modificamos ela pra:

E agora sim da pra integrar!

Integrando então:

O que finalmente, resulta em:

O primeiro passo é colocar em 3D essa brincadeira pra entender melhor:

Ok, tá, isso não ajuda muito. Talvez com eixos fique melhor:

Beleza, já que o interior do cone menor é oco, a gente pode entender o volume da casquinha como o volume do cone maior menos o volume do cone menor. Vamos ter então:

Bem, como são dois cones, vamos primeiro fazer de forma literal e depois trocar os valores, ok? Note o seguinte, se fizermos cortes transversais perpendiculares ao eixo , acharemos sempre fatias circulares. Saca só essa fatia feito em determinada altura :

Como as fatias são circulares, a gente tem uma área dada por:

E somando os infinitos círculos que existem dentro desse cone pra diferentes alturas que possamos escolher pra fazer a fatia, temos:

Alguma simplificação a gente já consegue de cara fazer. Veja só, a pontinha do cone está na origem e o cone acaba exatamente numa altura igual sua própria altura . Pô, então sabemos os limites de integração:

E saca só, como fatias em alturas diferentes dão círculos com áreas diferentes, temos então:

Pra fechar com chave de ouro então, falta só modelar . Bora lá!

Nesse passo, vamos olhar de novo a mesma figura com mais calma:

Opa, temos dois triângulos semelhantes ai em! Fazendo semelhança de triângulos, tiramos:

E logo:

O volume fica:

No final das contas, vamos ter:

Agora que achamos o volume de um cone de forma literal, como temos dois cones, basta aplicar! Pro cone maior, o raio era e a altura era . Logo:

E o cone menor tem a mesma altura em! O que muda é o raio que é de . Seu volume vai ser:

E finalmente podemos dizer pro Dexter o volume do cone, que vai ser:

Para fazermos esse volume vamos tentar achar uma equação para essas áreas transversais, vamos dar uma interpretada gostosa no enunciado primeiro.

Ele disse que a base é um círculo de raio , a equação da base vai ser

A parte confusa a vera aqui é essa história de secções transversais paralelas, perpendiculares à base. Isso nada mais é que se cortarmos a base, perpendicularmente esse sólido, vamos encontrar triângulos isósceles.

A ideia é mais ou menos assim

Aqui cortamos em um qualquer. Se cortarmos em um , mantendo paralelo ao eixo a base vai ser , meio louco isso né? Vamos olhar para a circunferência.

Essa linha vermelha é a base do triângulo que ele disse. Para cada valor de vamos ter uma área diferente, então podemos perceber que

Mas a área do triângulo é base vezes altura sobre , como a base e altura são iguais vamos ter

Mas queremos uma função de , então vamos usar a equação da circunferência da base que relaciona e

O valor de vai da parte de baixo da circunferência até a parte de cima, ou seja, vai de até

Agora vamos fazer a integral do volume, temos a fórmula da área da secção transversal, e seu limites, a integral vai ser

Olha, a princípio essa questão parece meio doida visto que a única real informação é a região da base. Vamos começar trabalhando então com ela e depois interpretamos o resto, belê? Saca só, do enunciado e de , podemos tirar:

Agora temos como ver melhor o esboço. A região está de alguma forma delimitada pela parábola e pela constante . No gráfico, isso fica:

Como a região que eu quero é a abaixo da constante e acima da curva, vamos ter a interseção entre as duas regiões:

O que dá:

Show, entendemos a região da base. Segura essa informação na cachola que vamos precisar dela nos próximos passos.

Agora a gente parte pra interpretação de texto. Olha o que o enunciado disse:

Então pra entender bem, vamos fazer vários cortes perpendiculares ao eixo em :

E saca só! Pra cada corte , o comprimento do segmento marcado vai ser do até o correspondente aquela altura de corte . Veja por exemplo o corte em . Como temos:

Agora vamos colocar isso em função de uma vez que os cortes estão feitos ao longo desse eixo:

Ok, mas e daí? Onde que isso nos leva!? Oras meus caros! Esse comprimento que calculamos nada mais é do que o lado de um quadrado! Isso porque as seções transversais, segundo o enunciado, são quadradas. Como conhecemos áreas de quadrados, a área da seção transversal vai ser então:

Maravilha, então conseguimos modelar. E sabemos os limites de integração também porque eles são os valores de que fecham a região da base do sólido: o limite inferior e o limite superior . Da formulinha de volume por seções traversais, temos:

Bem, a gente não tem e nem vai ter a cara dessa figura, infelizmente, pra ajudar a gente. Mas relaxa gafanhoto, ainda da pra se safar. Pra começar, vamos enxergar a base da figura. Pra saber em quais valores de a região da base se fecha basta igualar:

E logo:

As soluções são então e . Show de bola. Como é uma parábola e uma reta, o gráfico da região que representa a base vai ser:

Ok, beleza, temos a base. Mas como isso nos ajuda? Bem, da uma olhada numa informação crucial do exemplo:

Se as seções transversais são perpendiculares ao eixo , no plano , podemos marcar algumas retas representando diferentes cortes transversais:

E olha só! Como essas sessões são quadradas essas linhas vermelhas não só são as bases do corte transversal, mas também a altura! Como cada linha vermelha tem o tamanho:

E como a área de um quadrado é:

Vamos ter:

Opa, show de bola, modelamos a área da seção transversal em função da posição de corte. Somando os infinitos quadrados que existem nesse sólido entre e , onde a base do sólido está definida, temos:

Pra fechar com chave de ouro, basta a gente resolver a integral:

Bora lá. Como um bom primeiro passo, vamos pensar: como eu posso fatiar essa cunha de forma que as seções transversais tenham sempre o mesmo formato? Bem, uma boa ideia seria cortar ao longo do eixo . Saca só como fica:

Opa, fazendo uma seção transversal perpendicular ao eixo eu achei um retângulo. E saca só, como em cada escolhido esse retângulo tem uma área diferente..

E se eu somar essas infinitas áreas eu acho o volume, logo:

Maravilha, mas antes de passarmos pro próximo passo, tem algumas simplificações que já conseguimos fazer. Veja só, o sólido está definido no eixo entre a origem e o raio! E a área do retângulo é a base vezes a altura! Show! Conseguimos reescrever o volume para:

Vamos modelar então e pra poder achar o volume, beleza?

Show de bola. Se olharmos beeem a figura, vamos ver que dois triângulos retângulos muito importantes aparecem. O primeiro é esse aqui ó:

E esse triângulo tem tudo que precisamos pra achar ! Basta fazer a tangente do ângulo do corte! Vamos ter:

E o outro triângulo ta deitado lá de boas só olhando pra gente. Ele vai ser:

Pra esse que eu conheço todos os lados posso pedir ajuda pra Pitágoras, vamos ficar com:

E por fim:

E a integral fica:

Agora é só partir pras contas! Dada a integral:

Pra resolver eu posso olhar bem praquele ali pendurado e lembrar que se eu derivar um polinômio do segundo grau, eu acho um do primeiro! Então uma boa ideia é a substituição simples:

Como a integral é definida, vamos adaptar os limites de integração, beleza?

A integral vai ficar:

Finalizando:

Essa questão assusta um pouco porque estamos falando de fatiamento de um sólido gerado por interseção. Relaxa no entanto, que com tranquilidade a gente chega lá. Pra começar, vamos estabelecer eixos:

Note o seguinte, como o sólido foi montado a partir de cilindros iguais, então já sabemos o tamanho de todas as retas dentro da figura acima:

Show, agora vamos fazer uma seção transversal nessa figura. Note que se o corte for perpendicular ao eixo ...:

... então todas as seções transversais serão quadradas assim como é a base da figura! Como a área de um quadrado é dada por:

Somando os infinitos quadrados que definem esse sólido, temos então o volume do mesmo:

E como o quadrado tem área diferente dependendo da altura de corte , vamos ter:

Basta então modelar e achar os limites de integração pra poder partir pro abraço, beleza? Vamos nessa então!

Pra modelar eu vou destacar um pedacinho muito importante do sólido, esse aqui ó:

Destacando esse pedaço e exibindo a altura de corte vamos ter:

Opa, quer dizer então que dá pra usar Pitágoras? É isso mesmo! Vamos ter:

Como o volume é:

E vai da origem até seu valor máximo, o valor do raio , fechamos a modelagem da integral, que fica:

Fazendo as contas:

Como lá do enunciado vimos que o sólido da imagem é, na verdade, do sólido total e até agora mexemos só com o sólido da imagem, basta a gente multiplicar o resultado acima por e logo: