Exercícios de Cálculo de Volume pelas Seções Transversais - Lista de Exercícios Resolvida

Dexter estava tomando sorvete quando de repente sentiu uma vontade enorme de saber o volume da casquinha. Tendo ela de altura e sendo composta por dois cone, um exterior com de raio e outro interior com de raio inscrito ao primeiro, ache o volume pro Dexter enquanto ele come.

Dica: o interior do cone menor é oco

Encontre o volume do sólido cuja base é a região delimitada pelas curvas e cujas seções transversais perpendiculares ao eixo são quadrados

Calcule o volume do sólido de revolução abaixo usando Cálculo de Volumes por Seções Transversais. O sólido foi feito girando a curva em torno do eixo .

Deduza o volume de uma esfera usando Cálculo de Volumes por Seções Transversais.

Considere um sólido com base circular de raio . As secções transversais paralelas, perpendiculares à base são triangulares. Triângulos estes, isósceles com medidas de base e altura iguais. Encontre o volume deste sólido.

Uma cunha curva é obtida através de um corte perpendicular ao eixo de um cilindro, seguido de um corte que cruza o eixo formando um ângulo de , conforme a figura:

Sabendo que o cilindro possuía raio , antes de ser cortado, calcule o volume da cunha.

Encontre o volume do sólido cuja base é a região parabólica

e cujas seções transversais perpendiculares ao eixo são quadradas.

Dois cilindros circulares retos de raio r têm eixos que se intersectam em ângulos retos. Encontre o volume do sólido comum a ambos (Sugestão: Um oitavo do sólido está esboçado na figura abaixo).

Sólido do primeiro octante, delimitado pelos planos , pela esfera , situado entre os cones e

O volume de um certo sólido é dado por

Em relação ao problema anterior, exprima o mesmo volume como uma integral tripla em coordenadas cilíndricas.

Fez-se um orifício circular em uma esfera, de forma que o eixo do orifício coincidiu com o diâmetro da esfera. Calculou-se o volume do sólido restante e obteve-se

Determine o raio do orifício, o raio da esfera e o Valor de .

Considere a região delimitada pela curva e pelas retas e :

Esboce a região .

Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região ao redor da reta .

Calcule a massa do sólido limitado por , com sendo a densidade

Calcule o volume limitado pelo cilindro e pelos planos e .

Calcule o volume do sólido do primeiro octante, limitado pelas superfícies , , , , e .

(Sugestão: Faça e )

Calcule o volume do sólido limitado pelo plano , pelo cilindro e pelo cone .

Ao calcular-se, por dupla integração, o volume do sólido situado abaixo da superfície de equação e acima de uma região do plano , obteve-se a seguinte soma de integrais

Qual é esse sólido? É possível obter o valor do mesmo volume sem a necessidade do cálculo de uma soma de integrais? Qual o valor do volume?

Determine o volume dos sólidos S, usando integração.

b) um cone truncado de base circular.

Seja a a região limitada entre os gráficos e . Seja o sólido obtido girando esta região em torno do eixo . Qual o volume de ?

Para cada uma das funções abaixo, seja a região entre o gráfico das funções e o eixo e o sólido obtido pela rotação desta região em torno do eixo . Calcule os volumes dos sólidos obtidos

Para cada uma das funções abaixo, seja a região entre o gráfico das funções e o eixo e o sólido obtido pela rotação desta região em torno do eixo . Calcule os volumes dos sólidos obtidos

Encontre o volume do solido obtido pela rotação da região delimitada por baixo pelo gráfico de e por cima pela curva , em torno do eixo . Esboce a região, o sólido obtido e uma ‘seção’ típica

Seja , com . Calcule o valor médio de e encontre uma boa aproximação para tal que . (ou seja, determine a altura do

caixote que usaremos para guardar a região abaixo do gráfico de ).

Descreva o solido cujo volume é calculado pela integral

Encontre o volume do solido obtido pela rotação em torno do eixo da região entre as curvas e . Esboce o solido e a região

Encontre tal que , onde

Calcule o volume limitado pelo parabolóide , pelo plano e pelos cilindros e .

Calcule o volume limitado pelo parabolóide , pelo cilindro e pelo plano .

Calcule o volume do sólido contido no parabolóide , limitado por este e pela esfera de equação .

Para cada uma das funções abaixo, seja a região entre o gráfico das funções e o eixo e o sólido obtido pela rotação desta região em torno do eixo . Calcule os volumes dos sólidos obtidos

Calcule o volume do sólido obtido quando fazemos a rotação no eixo da região entre o gráfico de e o eixo , com ].

Determine o volume do sólido limitado pelas superfícies e para .

Determine o volume do sólido que está acima do cone e abaixo da esfera .

Encontre o volume do sólido que permanece depois que um furo circular de um raio é perfurado através do centro de um esfera sólida de raio por:

1. Seções transversais

Seja a área o conjunto de pontos tais que , , e .

1. Determine o volume gerado pela revolução da área em torno da reta ;
2. Determine o volume gerado pela revolução da área em torno da reta .

A base de é uma região elíptica delimitada pela curva . As secções transversais perpendiculares ao eixo são triângulos isósceles retos com hipotenusa na base

Calcule a integral

Onde é o conjunto

Determine o volume da região E limitada pelos cilindros e pelos cones ,

Seja a área o conjunto de pontos tais que , , e .

1. Determine o volume gerado pela revolução da área em torno da reta ;
2. Determine o volume gerado pela revolução da área em torno da reta .

Calcule o volume do sólido obtido pela rotação em torno da reta da região delimitada pelas

parábolas

Determine o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo do conjunto

Considere um sólido com base circular de raio . As secções transversais paralelas, perpendiculares à base são triangulares. Triângulos estes, isósceles com medidas de base e altura iguais. Encontre o volume deste sólido.

Formule a integral que calcula o volume do sólido obtido ao girar a região limitada pelas curvas , , e ao redor do eixo apontado:

b) ao redor do eixo

Formule a integral que calcula o volume do sólido obtido ao girar a região limitada pelas curvas , , e ao redor do eixo apontado:

c) ao redor do eixo

Formule a integral que calcula o volume do sólido obtido ao girar a região limitada pelas curvas , , e ao redor do eixo apontado:

a) ao redor do eixo

Formule a integral que calcula o volume do sólido obtido ao girar a região limitada pelas curvas , , e ao redor do eixo apontado:

d) ao redor do eixo

Encontre o volume obtido pela rotação em torno do eixo da curva: , . (Dica: Coloque em evidência)

Determine o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo do conjunto

Encontre o volume do sólido delimitado superiormente pelo paraboloide e inferiormente pelo quadrado

Encontre o volume do sólido que está abaixo do paraboloide elíptico e acima do retângulo

Encontre o volume do sólido limitado pela superfície e pelos planos

Determine o volume dos sólidos S, usando integração.

c) uma calota esférica

Determine o volume dos sólidos S, usando integração.

e) a região delimitada por dois cilindros circulares retos que se interceptam perpendicularmente.

Ache o volume comum a duas esferas de raio r se o centro de cada esfera está na superfície da outra.

Seja a região limitada verticalmente por e , e lateralmente por . Esboce a região e calcule seu volume.

Calcule o volume do sólido no semiespaço , delimitado pelo cilindro e pelos planos e .

Calcule a massa do sólido limitado pelo cone e pelo plano ; se a densidade de massa e dada por .

Calcule o volume do sólido .

Determine o volume dos sólidos S, usando integração.

1. Um cone circular reto de altura h e base r

Determine o volume do sólido limitado pela superfície e os planos , ,

Uma piscina tem formato circular de raio e profundidade variando linearmente de sul a norte,

sendo que no extremo sul é de e no extremo norte é de . Calcule o volume da piscina.

Determine o volume do sólido em cada um dos seguintes casos:

e) é a região do primeiro octante limitada pelo cilindro e pelos planos , e .

Determine o volume do sólido em cada um dos seguintes casos:

b) é limitado superiormente pelo paraboloide , inferiormente pelo plano e sua projeção no plano é o triângulo de vértices , e .

Determine o volume do sólido em cada um dos seguintes casos:

c) é a região do primeiro octante limitada pelo cilindro e pelo plano .

Determine o volume do sólido em cada um dos seguintes casos:

d) é limitado pelos planos , , e .

Determine o volume do sólido em cada um dos seguintes casos:

a) é limitado superiormente pelo paraboloide , inferiormente pelo plano e sua projeção no plano é a região limitada por e .

Determine o volume do sólido em cada um dos seguintes casos:

f) é limitado pelos cilindros e , onde .

Dados os gráficos de , e as 5 regiões A1,A2,A3,A4 e A5, delimitadas de acordo com a figura anexa, formule, em cada caso, a integral que calcula o volume do sólido obtido ao girar a região indicada ao redor do eixo apontado

(d) Formule uma integral que calcula a área A4 usando equações paramétricas.

Dados os gráficos de , e as 5 regiões A1,A2,A3,A4 e A5, delimitadas de acordo com a figura anexa, formule, em cada caso, a integral que calcula o volume do sólido obtido ao girar a região indicada ao redor do eixo apontado

(a)A5 ao redor da reta x = 1 .

Dados os gráficos de , e as 5 regiões A1,A2,A3,A4 e A5, delimitadas de acordo com a figura anexa, formule, em cada caso, a integral que calcula o volume do sólido obtido ao girar a região indicada ao redor do eixo apontado

(b)A4 ao redor de x = 2

Calcule, utilizando coordenadas cilíndricas, o volume do sólido , limitado abaixo pelo plano e acima pela esfera

Calcule, utilizando coordenadas esféricas, o volume do sólido , limitado abaixo pelo plano e acima pela esfera

Calcule o volume do sólido limitado pelas superfícies e .

Considere um recipiente cilíndrico de raio , inicialmente em repouso com água até a altura . Em seguida, o recipiente começa a girar até que, juntamente com a água, alcance uma velocidade angular constante igual a . Nesse caso, a superfície da água corresponde à rotação, em torno do eixo , do gráfico de uma função , com . Não havendo perda de água, pode-se mostrar que , onde é a aceleração da gravidade e é uma constante que depende de .

O volume do sólido de rotação do gráfico de em torno do eixo é igual a Use essa informação para calcular o volume de água no recipiente em termos de e .

Usando o item anterior, obtenha como função .

Determine o valor de para que seja igual à metade da altura da água em repouso.

Calcule o volume obtido ao girar a região limitada pelas curvas dadas em torno do eixo :

a) , , , . ;

Calcule o volume obtido ao girar a região limitada pelas curvas dadas em torno do eixo :

b) , . ;

Calcule o volume obtido ao girar a região limitada pelas curvas dadas em torno do eixo :

d) , . ;

Calcule o volume obtido ao girar a região limitada pelas curvas dadas em torno do eixo :

c) , . ;

Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas.

b) , ; em torno do eixo .

Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas.

c) , , , ; em torno do eixo .

Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas.

a) , , , ; em torno do eixo .

Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas.

d) , , em torno do eixo .

Dados os gráficos de , e as 5 regiões A1,A2,A3,A4 e A5, delimitadas de acordo com a figura anexa, formule, em cada caso, a integral que calcula o volume do sólido obtido ao girar a região indicada ao redor do eixo apontado

(c) (A2∪A3) ao redor de y = 1.

Responda os itens com respeito à integral

1. Utilize a fórmula de integração por partes fazendo e e determine o valor da integral.
2. Utilize a fórmula de integração por partes fazendo e e comente por que essa escolha não é boa.
3. A integral representa o volume de um sólido gerado pela revolução de uma região, em torno do eixo . Descreva as curvas que delimitam essa região no plano.

Considere a região plana delimitada pela curva , pelos eixos coordenados e pela reta . Calcule o volume do sólido gerado pela rotação dessa região em torno do eixo .

Considere o sólido delimitada pelas superfícies Faça um esboço do sólido, mostre a região de integração e

1. Formule (mas não resolva) uma integral dupla para calcular o volume do sólido.
2. Formule (mas n ̃ao resolva) uma integral tripla para calcular o volume do sólido.

Determine o volume do sólido delimitado pelas superfícies e .

Seja R a região limitada pelos gráficos de e para e S o solido obtido pela revolução desta área em torno do eixo y.

1. Calcule o volume de S.

Calcule a massa da região acima do cone dentro da esfera com .

(4) Utilize o Teorema de Pappus-Guldin para determinar:

(b) o volume do sólido de revolução gerado pela rotação do triangulo com vértices nos pontos , , ao redor do eixo .

Determine o volume que está simultaneamente dentro das esferas

e

Um anel esférico é o sólido que permanece após a perfuração de um buraco cilíndrico através do centro de uma esfera sólida. Se a esfera tem raio R e o anel esférico tem altura h, prove o fato notável de que o volume do anel depende de h, mas não de R.

Determine o volume do sólido no primeiro octante, delimitado pelos planos coordenados, pelo plano e pela superfície , para .

Esboce e calcule o volume do sólido descrito.

c) O sólido cuja base é o semicírculo , cujas secções perpendiculares ao eixo são triângulos equiláteros.

Esboce e calcule o volume do sólido descrito.

d) O sólido cuja base é a região elíptica e cujas secções perpendiculares ao eixo são semicírculos.

Esboce e calcule o volume do sólido descrito.

e) O sólido cuja base é a região delimitada pela parábola e pelo eixo , e cujas secções perpendiculares ao eixo são quadrados.

Esboce e calcule o volume do sólido descrito.

b) Uma pirâmide de altura e base retangular de lados e .

5. Calcule o volume do sólido limitado inferiormente pelo cone , de equação , e superiormente pelo paraboloide , de equação

Nos exercícios 05 a 12, calcule o volume do sólido descrito em cada caso, usando integração tripla.

Sólido do primeiro octante, delimitado pelos planos coordenados, pelos planos coordenados, pelo plano e pelo cilindro

Nos exercícios 05 a 12, calcule o volume do sólido descrito em cada caso, usando integração tripla.

Sólido do primeiro octante, delimitado pelos planos , e pelo cilindro

Nos exercícios 05 a 12, calcule o volume do sólido descrito em cada caso, usando integração tripla.

Sólido interior ao cilindro , sendo delimitado pela esfera e pelo plano .

Nos exercícios 05 a 12, calcule o volume do sólido descrito em cada caso, usando integração tripla.

Sólido interseção dos paraboloides e .

Nos exercícios 05 a 12, calcule o volume do sólido descrito em cada caso, usando integração tripla.

Sólido continho no coze , limitado pela esfera .

Nos exercícios 05 a 12, calcule o volume do sólido descrito em cada caso, usando integração tripla.

Sólido interseção da esfera x² + y² + z² = 2com o paraboloide , interior a este.

9.7 Seja a região entre os gráficos de e . Seja o sólido obtido girando em torno do eixo e o sólido obtido girando em torno do eixo . Calcule os volumes de e de.

O volume de um certo sólido é dado por

Descreva o sólido graficamente, dando as equações das superfícies que o delimitam.

10.8 Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo da região limitada pelas curvas e .

Determine o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo do conjunto

Determine o comprimento da curva

Calcule o volume da região acima do cone e dentro da esfera .

O volume da região limitada pelo cone e pelo cilindro com , pode ser calculado usando coordenadas cilíndricas por

O volume do sólido limitado por e é

Determine o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo do conjunto

Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo , da região limitada pela curva e pelas retas , e .

Considere o sólido gerado pela rotação, em torno do eixo , da região limitada pela parábola e a reta , com . Determine o valor de se o volume deste sólido é .

Para cada , seja a região limitada pelo gráfico de , o eixo e a reta . Se é o volume obtido girando em torno do eixo , e é o volume do sólido obtido girando-se em torno do eixo , determine .