Regra da Cadeia
Teoria
Fala aí! Belezinha?
Até aqui já aprendemos a resolver vários tipos de derivadas, mas agora vamos ver um novo desafio que pode surgir e estaremos preparados pra ele. Vem comigo!
Você saberia dizer quais a derivadas das seguintes funções:
Bom, a é um polinômio e sua derivada a gente encontra através da regra do peteleco. Assim:
E a é uma função trigonométrica daquelas tabeladas, e sua derivada é:
Até aqui “nada novo sob o sol”. Mas agora imagina que você se depara com essa função aqui pra derivar:
Opaa!!! Embolou o meio de campo, não foi? Mas se você olha bem com calma, vai perceber que nós temos ali uma função dentro da outra. A função foi colocada dentro da função .
Função Composta:
Quando isso acontece, estamos diante de uma função composta. Repare que a passou a ocupar exatamente o lugar do na função , por isso temos uma .
Então pegamos a lei de formação da que é o e encaixamos a lei de formação da que é o , exatamente no lugar do no .
Veja alguns outros exemplos de funções compostas no quadro abaixo:
Repara que sempre temos uma função dentro da outra.
Beleza, agora como faz pra derivar uma função dessas?
Regra da Cadeia:
Pra fazer essas derivadas vamos usar a regra da cadeia. Pra isso vamos pensar na função composta como um presente que você desembrulha e encontra outro presente dentro. Ok?
Para encontrar a derivada nós faremos a mesma coisa que fazemos para abrir esse presente. Primeiro abrimos o de fora sem mexer no de dentro, depois abrimos o de dentro.
Assim. Para fazer a derivada usando a regra da cadeia, primeiro faremos a derivada da função de fora, sem mexer na de dentro, depois multiplicamos pela derivada da função de dentro.
A regra é essa aqui:
Onde chamamos a função de dentro de . Assim, é a derivada da função de fora que está sendo multiplicada pela derivada de , que é a função que está dentro.
Vamos a um exemplo que ficará mais claro:
Exemplo:
A função que está dentro é a ,vamos chama-la de
E depois fazemos:
a derivada de é:
E a derivada de é:
Agora nós multiplicamos as duas derivadas:
Pra ficar tudo certinho, temos que lembrar que o é na verdade o . Então:
Prontinho. Derivada Feita!
Vamos a outro exemplo:
A função que está dentro é que chamaremos de e faremos:
A derivada de é:
E a derivada de é:
Multiplicando as duas:
Pra fechar, substituímos novamente o , assim:
E prontinho.
O lance é observar quem é a função de dentro e quem é a de fora!
E Pra ficar fera, bora para os exercícios!
Função Composta:
Regra da Cadeia:
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Dada as funções e determine a derivada da função composta ou .
Passo 1
O enunciado está pedindo que a gente calcule a derivada de uma função composta que é criada a partir da função e da função . Mas como podemos criar uma função composta a partir de e ?
Para fazer isso, substituímos a variável presente em pela função . A função composta fica assim:
A função que criamos é uma função composta, pois colocamos uma função dentro da outra!
E como derivamos essa função composta representada por que nos deu essa fórmula maior e mais complicada?
A gente vai fazer isso usando a regra da cadeia!
Essa regra será explicada no passo a seguir!
Passo 2
A regra nada mais é do que derivar por partes! Vamos separar a derivação em duas partes. Primeiro nós vamos derivar a função como se a função fosse a nossa variável . Ou seja, nós vamos derivar usando a função na forma abaixo.
Nessa primeira parte, nós vamos tratar a como se fosse a nossa variável comum, aplicando o mesmo passo a passo que usávamos, quando a função só tinha !
Então, vamos derivar e separadamente e depois juntar essas derivadas.
A derivada de pode ser calculada com a regra do peteleco. Nessa regra, nós derivamos dando um peteleco no expoente e fazendo ele cair na frente de . Esse expoente que caiu deixou pra trás um expoente menor. Esse novo expoente é o antigo menos (ou seja, ).
Agora só falta calcular a derivada da constante . No entanto, a derivada de uma constante vale zero. Logo:
Juntando essas derivadas, achamos .
Ainda não vamos substituir por . Deixaremos isso pro final!
Agora, vamos para a segunda parte!
Passo 3
Na segunda parte da regra da cadeia, vamos derivar normalmente a função .
Para derivar elevado a uma constante temos sempre que usar a regra do peteleco. Ou seja, o expoente vai cair na frente do e vai deixar pra trás um expoente menor, valendo .
Agora vamos utilizar a fórmula da regra da cadeia!
Essa fórmula diz que a derivada da função composta é a multiplicação entre a derivada e a derivada !
Substituindo o que encontramos para e , achamos:
Calma porque ainda não acabou. Ainda temos que substituir pela sua fórmula! Esse será o nosso último passo!
Passo 4
Nesse passo vamos substituir por na derivada de .
Nessa equação o número e o termo estão elevados ao quadrado. Quando isso acontece nós elevamos cada um em separado para a equação ficar mais simples.
Agora, está sendo elevado duas vezes seguidas. Então, repetimos o e multiplicar os expoentes!
Quando temos vários termos com sendo multiplicados, podemos somar os expoentes de .
No entanto, a multiplicação entre os números da equação dá:
Substituindo esse valor na equação da derivada:
Resposta
A derivada da função composta é .
Exercício Resolvido #2
Determine a derivada da função
- f’ (x) = 5
- f’ (x) = 3
- f’ (x) = 3
- f’ (x) = -3
- Nenhuma das respostas anteriores
Passo 1
Pessoal, eu sei que essa função que temos que derivar pode assustar um pouco. Principalmente por causa dessa letra que tem nela. O que ela significa? Ela é um número que vale aproximadamente .
Mas relaxa que não vamos precisar usar esse valor de “” nas questões que envolvem esse número!
Tudo bem, essa parte nós entendemos! Mas como podemos derivar , se só me lembro como derivar ?
Na verdade, derivar não é tão diferente de derivar ! A única diferença é que para derivar , precisamos cumprir duas etapas a mais.
Para perceber isso, vamos chamar o expoente de .
Agora, vamos substituir o expoente da função por .
Essa função ficou bem parecida com , não é? Mas não se esquece que também é uma função, isso significa que aqui temos uma função dentro da outra. O que chamamos de função composta.
ou
Então vamos começar a resolver nossa questão derivando a função acima que nem fazemos quando a função só tem !
Como a derivada da função exponencial é igual ao próprio , a derivada de é o próprio !
Pronto, cumprimos a primeira etapa para calcular a derivada de . Nos próximos passos, vamos aprender as etapas adicionais que temos que cumprir para achar a derivada de .
Passo 2
A segunda etapa é derivar a função !
Não precisamos derivar a toda ao mesmo tempo. Nós podemos derivar e separadamente e depois juntar essas derivadas.
A derivada de pode ser calculada com a regra do peteleco. Nessa regra, nós derivamos dando um peteleco no expoente de (que no caso vale ). Com o peteleco, esse expoente “cai” na frente de , deixando pra trás um expoente menor. Esse novo expoente é igual ao antigo menos (ou seja, ).
Agora só falta calcular a derivada da constante . No entanto, a derivada de uma constante vale zero. Logo:
Juntando essas derivadas, achamos .
Passo 3
A última etapa para calcular a derivada de é multiplicar as duas derivadas que encontramos.
Substuindo as equações de e :
Lembrando que :
Vamos reorganizar essa função para ficar mais parecida com as opções de resposta que temos.
Pronto! Conseguimos calcular a derivada de ! A opção correta é a letra (b).
Resposta
Letra (b)
Exercício Resolvido #3
UFF, Cálculo IA-Lista 6, GMA, 2008-1, Questão 10.
Derive a função.
Passo 1
Fala, pessoal! Nesse exercício nós temos que derivar uma função que aparece em várias questões de derivada: o .
Para ficar mais claro como se deriva essa função, vamos nos lembrar de uma outra forma de escrever .
Essa nova forma é igualzinha a ! As duas formas nos dizem que o está elevado a !
No entanto, quando escrevemos desse jeito, podemos ver com mais clareza que a função que calcula o cosseno está dentro de uma uma função que eleva ao quadrado!
Isso fica mais claro ainda, quando substituímos por .
Logo:
Agora, nós conseguimos ver que a função (que calcula o cosseno) está dentro de uma função que eleva ao quadrado! O é uma função dentro da função que eleva a !
Quando temos uma função dentro da outra, a chamamos de função composta! Logo,
Para derivar uma função desse tipo usamos a regra da cadeia!
Ou seja, assim que você ver uma função dentro de outra, saiba que ela é uma função composta e que você terá que usar a regra da cadeia para derivá-la!
Essa regra será explicada no passo 2!
Passo 2
A regra para essa derivada será:
é a derivada da função composta que queremos calcular. Ela é o resultado final. E
é a derivada da função de !
Atenção com essa derivada! Ela é uma função de , mas nós vamos derivar ela que nem fazemos quando a função só tem .
Ou seja, vamos derivar que nem derivamos ! Usando a regra do peteleco! Nessa regra, o expoente vai cair na frente de e vai deixar pra trás um expoente que é igual ao antigo .
Agora, nós vamos derivar normalmente. Como é o cosseno, sua derivada vale:
No próximo passo, vamos substituir essas derivadas que calculamos na regra da cadeia para calcular a derivada da função composta!
Passo 3
A derivada da função composta vale:
Calma que o exercício ainda não acabou! Ainda temos que substituir por !
Colocando o sinal de menos no início da equação, vira:
É isso aí! Terminamos mais uma questão de derivada! Essa questão pode parecer mais complicadinha, porque precisa de mais passos para ser resolvida.
Por isso, vamos resumir o passo a passo que você tem que seguir para derivar uma função composta! Assim você vai sempre se lembrar e vai ficar craque!
- Primeiro, temos que identificar a função composta. Para isso, precisamos reconhecer que tem uma função dentro de outra!
- Depois, chamamos a função de dentro de .
- Agora, calculamos a derivada de que nem fazemos quando a função só tem .
- Substituimos e na regra da cadeia para calcular a derivada da função composta.
- Substituímos a equação de .
- Corremos para o abraço!
OBS.: Lembre-se sempre que, se tem uma função dentro da outra, derivamos usando a regra da cadeia.
é calculado normalmente.
Resposta
Exercício Resolvido #4
Determinando a derivada da função , obtemos:
Passo 1
Olá, tudo beleza?
Vamos lá, nossa função é essa:
Percebe que a gente tem um produto entre duas funções, então vamos usar a regra do produto para derivar essa nossa função.
Lembra que a regra do produto é assim:
Aqui a gente pode definir:
E o nosso próximo passo é derivar cada um desses pedacinhos...
Passo 2
Na função a gente vai usar aquele esquema de Regra do tombo com o expoente, lembra? Assim:
Beleza, vamos ver a agora...
Passo 3
A função é composta, pois temos a função dentro da função , então a gente vai ter que usar a Regra da Cadeia, que é assim:
Ou seja, a gente deriva de fora pra dentro.
Nesse caso a gente pode chamar:
Derivando cada pedacinho:
Então a derivada de pela regra da cadeia é:
Substituindo quem é o :
Então reorganizando, temos:
Passo 4
Agora que a gente já achou a derivada de e de , podemos montar nossa regra do Produto lá do início...
E então chegamos na derivada! A resposta certa é a alternativa 😉
Resposta
d)
Exercício Resolvido #5
As vezes precisamos calcular a derivada da função composta a partir das derivadas das funções componentes, assim podemos aplicar a regra da cadeia: Sejam e duas funções deriváveis, com e consideremos a função composta . Então é derivável e , para todo
Aplicando então a regra da cadeia calcule a derivada de
Passo 1
Fala aí, tudo joia? A gente tem que derivar essa função aqui:
Como temos uma soma, a gente pode derivar cada termo separadamente e depois somar, beleza?
Vamos derivar primeiro o pedacinho . Vem comigo!
Passo 2
Nela a gente tem a , onde o elevado a alguma coisa é uma função, e o é outra função, então a gente tem uma função composta. Com isso vamos aplicar a regra da cadeia, que é assim:
Na função vamos chamar de e .
Essas derivadas a gente sabe né?
Passo 3
Montando nossa regra da cadeia então, nossa derivada fica:
Substituindo , ficamos com:
Prontinho! A derivada desse pedacinho é essa😉
Passo 4
Vamos para o outro agora...
Esse pedacinho aqui: . A gente vai seguir da mesma forma, aplicando a regra da cadeia, mas aqui vamos chamar:
E aí teremos:
A derivada então fica:
Substituindo :
Passo 5
Beleza, já derivamos os dois pedacinhos da função, agora é só somar as duas, já que:
E chegamos à nossa tão procurada derivada! 😁
Resposta
A derivada da função é .
Exercício Resolvido #6
Determine a derivada da função
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
Bora fazer mais essa?
Queremos a derivada dessa belezinha aqui:
Complicou né? Mas calma, respira, vamos por partes!
Pra começar, repara que temos um produto ali, certo? Então nada mais justo do que usarmos a Regra do Produto! Essa regra é assim:
Ok, vamos montar isso aí então...
Passo 2
A gente vai chamar aqui:
Então a nossa regra do produto fica assim:
Beleza! Agora a gente precisa dessas derivadas que estão sinalizadas com “ ‘ ” aí!
Passo 3
A derivada de é de boa! A gente vai naquele esquema de Regra do Tombo, onde o expoente cai pra frente e diminui um no expoente. Vai ficar assim:
(lembra que todo número elevado a zero é 1)
Show! Essa foi de boa! Vamos pra próxima...
Passo 4
Vamos derivar agora. Essa aqui é uma função composta, então a gente vai ter que aplicar a Regra da cadeia, que é dessa forma aqui:
Ou seja, a gente deriva de fora pra dentro...
Aqui no nosso caso a gente tem:
Essas derivadas são tabeladas, aquelas basiquinhas que a gente aprende. Elas são isso aqui:
Então nossa derivada de fica:
Substituindo , temos:
Beleza! Derivada de encontrada!
Passo 5
Lá no passo 2 a gente deixou nossa derivada montada com a regra do produto, vamos pegar de volta!
Agora que a gente já calculou essas derivadas que estão ali, vamos substituir:
E finalmente chegamos à nossa derivada! A alternativa certa é a letra D! 😉
Resposta
d)
Exercício Resolvido #7
Encontre a primeira e a segunda derivadas da função.
Passo 1
Fala aí, tudo joia?
Temos que calcular a primeira e segunda derivadas da função: .
Perceba que o comum é nós termos , mas lá no lugar do , temos outro . Assim, temos uma função dentro da outra. Ou seja, uma função composta.
Como temos uma função composta, vamos usar nossa famosa regra da Cadeia, que tem essa forma aqui:
Ou seja, a gente identifica qual função está “por fora” e qual está por dentro, e depois aplica essa regrinha. Vem comigo!
Passo 2
A função é formada por por fora e por dentro.
Então a gente vai chamar:
A derivada da exponencial é ela própria, então:
E a derivada do que tá dentro é:
Então vamos pra nossa regra da Cadeia...
Passo 3
A derivada de vai ser:
Substituindo e , temos:
Prontinho! Essa é a primeira derivada!
Passo 4
Vamos ver então a segunda derivada. A gente tem que derivar o que encontramos para :
Isso virou uma multiplicação, então aAqui a gente tem que usar a regra do produto, que é assim:
No nosso caso temos:
Beleza! Vamos fazer essas derivadas agora!
Passo 5
Olha só que legal, a gente precisa dessas derivadas aqui:
A gente já calculou essas duas derivadas ali em cima, e achamos:
Vamos substituir isso então aqui:
E acabamos! Essa é a segunda derivada😊
Resposta
Exercício Resolvido #8
Encontre a primeira e a segunda derivadas da função.
Passo 1
Olá! Tudo beleza?
Vamos fazer mais essa derivada aqui! A gente quer a primeira e a segunda derivada, vamos focar na primeira por enquanto...
A nossa função é:
veja que a nossa função é composta por:
Onde
Certo? Vamos continua então...
Passo 2
Como a gente tem uma função composta, a gente vai usar a regra da Cadeia, que é dessa forma aqui:
A gente já identificou que e , então vamos derivar cada uma, usando a tabela de derivadas e a Regra do Tombo.
Para:
Vamos transformar em
Podemos jogar um pra baixo por causa do expoente negativo, e voltar com ele para forma de raiz:
Agora é a vez do
Passo 3
Beleza! Vamos substituir isso na expressão da regra da cadeia:
Substituindo e :
Simplificando o de cima com o de baixo:
Prontinho! Essa é a primeira derivada!
Passo 4
Agora vamos fazer a segunda derivada, derivando .
Como é um quociente, vamos usar a regra do Quociente, que é assim:
No nosso caso, temos:
Precisamos das derivadas dessas duas...
Passo 5
Para a derivada de é só usar a regra do Tombo:
E a derivada de a gente já calculou e viu que é:
Show! Vamos jogar isso na regra do Quociente agora!
Passo 6
Calma! Eu sei que ficou feio, mas vamos melhorar isso aí.
Podemos cortar a raiz como quadrado no denominador, e fazer no segundo termo da parte de cima:
Vamos somar aqueles dois ali em cima, multiplicando o primeiro termo por em cima e embaixo...
Passo 7
Vai ficar assim:
Agora podemos multiplicar ali em cima, que vai sumir a raiz, certo?
A gente tem duas frações com denominadores iguais ali em cima, então podemos resolver em cima e repetir embaixo:
Passo 8
Em divisão de frações, podemos repetir a primeira e multiplicar pelo inverso da segunda. No caso, a segunda é o que vamos transformar em
Nossa derivada então é:
Prontinho! Derivadas calculadas😊
Resposta
Exercício Resolvido #9
Encontre a primeira e a segunda derivadas da função.
Sendo constante.
Passo 1
Bora ver mais essa?
A gente quer a primeira e a segunda derivadas da função:
Como temos um produto, vamos ter que usar a Regra do produto aqui, que é assim:
No nosso caso, e . Vamos derivar cada uma então...
Passo 2
Primeiro vamos derivar . Aqui a gente aplica a regra do Tombo, assim:
Show! Vamos ver o outro pedacinho então...
Passo 3
A função não é tãããooo simples assim, porque ela é composta por duas funções. Se é composta, a gente tem que usar a regra da Cadeia.
Perceba só: a função é formada por fora por e por dentro por . Então a regra da cadeia manda a gente derivar de fora pra dentro, assim:
Então vamos derivar cada pedacinho desse e depois jogar nessa regrinha...
Passo 4
A derivada de é ela mesma, como a gente já aprendeu, né?
Já a derivada de a gente vai pela regra do Tombo...
Opa! Achamos nossas derivadas, vamos voltar pra regra da cadeia agora...
Passo 5
Substituindo :
Beleza! Vamos juntar nossas derivadas e jogar lá na regra do Produto agora!
Passo 6
Vamos voltar aqui:
Substituindo tudo o que a gente achou:
Colocando o em evidência:
Beleza! Essa é a primeira derivada😊
Passo 7
Pra fazer a segunda derivada, precisamos derivar a primeira derivada que encontramos no passo anterior.
Ou seja:
De novo a gente tem que usar a regra do produto:
Só que aqui vamos ter:
Precisamos de e ...
Passo 8
Olha que legal, nós já fizemos a derivada de lá em cima, então não precisamos fazer de novo! Uhuul!
E como a derivada de constante é zero, e a derivada de nós também já calculamos, também temos a derivada de :
Maravilha! Agora a gente já pode montar nossa regra do produto!
Passo 9
Vamos colocar o em evidência:
Prontinho! Essa é a segunda derivada!
Com isso encerramos essa questão😉
Resposta
Exercício Resolvido #10
Encontre a derivada da função:
Passo 1
Vamos ver mais essa! A gente quer a derivada da função:
Aqui a gente tem um produto entre duas funções, então vamos aplicar a regra do Produto, beleza?
A regra do Produto é assim:
Onde aqui na nossa:
Precisamos de e agora...
Passo 2
Vamos primeiro derivar pra encontrar .
Bom, perceba que é uma função composta, formada por e . Então a gente usa a regra da Cadeia, pra derivar de fora pra dentro assim:
Derivando encontramos o próprio , certo?
E pra derivar , a gente usa a regra do tombo, assim:
Beleza, vamos montar a regra da cadeia agora...
Passo 3
Jogando o que a gente achou aqui:
Substituindo :
Ok, achamos a derivada de , agora precisamos da de ...
Passo 4
Vamos ver a derivada de
Novamente, é composta por e .
Pela regra da cadeia, precisamos de:
Derivando , encontramos:
E derivando , a gente usa a regra do tombo, assim:
Passo 5
Jogamos na nossa regra da cadeia:
Substituindo :
Ótimo! Temos as derivadas de agora, vamos voltar na nossa regra do produto lá do Passo 1!
Passo 6
Vamos voltar aqui:
Substituindo :
A gente pode colocar o em evidência:
E pronto! Essa é a nossa derivada😊