Regra da Cadeia

Neste caso é como se tivéssemos uma função “dentro” da outra. A função estaria dentro da função , deste modo:

Agora, a gente consegue separar a função em duas. Então vamos chamar a função cosseno de e a função de , ficando assim,

Como, a função cosseno está dentro da função . Teremos,

A gente tem pela Regra da Cadeia que, para uma qualquer, temos sua derivada dada por:

O que isso que dizer? Nós vamos primeiro derivar a função de fora e multiplicar pela derivada da função de dentro.

Derivando a função de fora ficamos com,

Derivando a função de dentro ficamos com,

Agora substituímos na fórmula da derivada pela Regra da Cadeia:

Essa é a derivada!

Ora, nesse caso nós temos um em função de e um em função de . Assim podemos escrever:

Para derivar esse cara, usamos a Regra da Cadeia:

Escrevendo de outra forma, nós temos,

Derivando cada uma das funções que mostramos na Regra da Cadeia, ou seja, e , teríamos:

Logo, substituindo as derivadas na expressão da Regra da Cadeia :

Novamente, nós temos um em função de e um em função de . Assim, é possível escrever:

Para derivar esse cara, usamos a Regra da Cadeia:

Escrevendo de outra forma, nós temos,

Derivando cada uma das funções, teríamos:

Logo, substituindo as derivadas na expressão da Regra da Cadeia:

Tem duas formas de fazer essa derivada, uma mais direta ao ponto e outra usando fórmulas. Fica a seu gosto qual você prefere, beleza? Mas relaxa que vamos ver as duas.

Vou, antes de tudo, dar uma desmembrada na função. Repara comigo, é como se ali estivessem escritas duas funções, observadas de fora pra dentro:

De modo que uma estaria dentro da outra, desta forma:

Reparou? Isso cai na Regra da Cadeia.

Vamos derivar então. Seguindo a regra da cadeia:

Isso vai dar:

No caso, eu vou ter que repetir essa Regra mais uma vez. Porque repara bem, é como se tivéssemos de novo uma função dentro da outra:

Fazendo a regra da cadeia de novo:

E cara, ainda não acabou! Vamos precisar aplicar a regra da cadeia mais uma vez (virou um combo isso aí rs)! Isso porque podemos enxergar a derivada que sobrou como:

E fazendo a regra da cadeia temos:

Agora chegamos na parte boa em que fechamos a questão, juntando tudo que vimos:

Chegamos à:

A outra forma da gente resolver é identificar logo todas as funções que estão dentro uma da outra. Aí acabamos montando uma fórmula bem grande. Veja bem:

Pode ser entendido como:

Se fizermos:

Como pra fazer regra da cadeia três vezes vamos precisar de todas as derivadas, temos:

Então mãos a obra, derivando uma primeira vez:

E não tem jeito, o carinha lá do final também vai ser derivado usando a regra da cadeia:

E uma terceira e última vez também tem que ser feita:

De forma que a derivada vai ficar:

Agora é só substituir já que sabemos todas as funções e suas derivadas. Pro primeiro termo dos quatro, temos com substituído por , logo:

No segundo termo, temos com substituído por , logo:

No terceiro termo, temos com substituído por , logo:

E pra finalizar sobrou só o já conhecido. Juntando tudo:

A derivada fica:

Eu sei, a questão foi meio grandinha. Mas confia: é tudo questão de ter a definição da Regra da Cadeia e as derivadas das funções importantes memorizadas e atenção na hora disso tudo. Com o tempo vem a prática, e você vai derivar tudo de olho fechado. ;)

Quando a gente olha pra uma função elevada a uma função já dá um nó na cabeça, não é mesmo? Parece difícil a beça e já da um medo! Mas calma, tem uma propriedade das exponenciais que salva muito a gente nesses casos, dá uma olhada:

Sendo um número qualquer. Ok, mas se ao invés de tivéssemos uma função?

Nada de diferente pessoal! Nada mesmo! Então vamos usar essa propriedade e escrever:

E, pra fechar esse passo, vamos usar mais uma propriedade importante, dessa vez dos logaritmos:

E se você acha que isso vale também pra funções, achou certo! Vamos ter então:

Opa, agora talvez fique mais tranquilo da gente derivar! Vamo que vamo então:

Se lembrarmos bem, quando derivamos elevado a alguma função, pela regra da cadeia, ficamos com:

Olhando bem pra nossa função e comparando com a regra da cadeia em cima

A gente vê bem que é esse . No caso, vai ser:

Bem, vai faltar só derivar agora! E a derivada dessa função então vai ser, pela regra do produto:

Fechamos a questão então galera! Próximo passo é só juntar tudo que encontramos, que foi:

Juntando tudo:

E lá do primeiro passo, pescando essa informação importantíssima:

Fechamos a questão com:

Temos aqui uma função composta. Há uma por fora, e uma função dentro dela dada por . Por definição, derivamos pela Regra da Cadeia a e ficaríamos assim:

Vamos determinar e

Para determinar a derivada de precisamos recorrer a regra da cadeia de novo, onde

Agora vamos na fórmula que achamos para a Derivada de :

Eita! Essa questão tá pedindo pra gente a derivada, mas nem disse qual é a função? E agora o que a gente faz? Então ele nos fala que é uma função composta e nos dá alguns pontos e suas derivadas em determinados pontos para encontrarmos .

Portanto queremos encontrar:

Em x=3

Vamos então substituir e na expressão anterior

Caímos numa nova incógnita agora , mas essa informação nos foi dada no enunciado, então é só substituir e encontramos a resposta.

Substituindo agora

Bem, aqui ele quer a segunda derivada daquela função , isso porque tem aquelas duas linhas em cima da .

Para achar essa segunda derivada temos que derivar duas vezes, lembra? Vamos derivar então.

Repara que dentro da na equação da , temos um isso nos diz que temos que usar a regra da cadeia, vamos fazer

Isso vai ajudar nas nossas contas para entender qual função está dentro da onde e como fica a regra da cadeia. A nossa vai ficar

Fazendo a primeira derivada vamos ter que aplicar a regra da cadeia e a regra do produto, então vamos ter

Então vamos ter

Vamos trocar só a derivada de ali em cima, isso porque vai ajudar nas contas, como temos que derivar de novo para achar a segunda derivada vamos deixar o dentro da e da

Assim a vai ficar

Vamos, agora, para a segunda derivada. Vamos usar, de novo, a regra do produto e a regra da cadeia.

Agora, trocando a derivada de que já calculamos ali em cima vamos ter

Agora podemos trocar por , afinal a nossa resposta só pode depender de , , e .

Vamos calcular . Começando com a regra do produto:

Agora temos que mandar uma regra da cadeia pra achar a derivada dessa parte da direita:

Pelas regras da cadeia e do quociente, temos que

Ou seja,