Encontre a derivada da função.

G(y) = ((y - 1)^4) / ((y^2 + 2y)^5)

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos derivar a seguinte função:

G y = y - 1 4 y 2 + 2 y 5

Para isso, precisamos utilizar a regra da cadeia, que é dada da seguinte forma:

d y d x = d y d u ∙ d u d x

Também temos que lembrar da regra da divisão de derivadas, que é dada por:

f x g x ' = f ' x g x - f x g ' x g x 2

E aí? Bora lá palicar?? 😉

Passo 2

Primeiro vamos usar a regra da divisão e, para isso, temos que:

f y = y - 1 4

e

g y = y 2 + 2 y 5

Vamos agora só montar na fórmula:

G ' y = y - 1 4 y 2 + 2 y 5 ' ∴

G ' y = y - 1 4 ' . y 2 + 2 y 5 - y - 1 4 . y 2 + 2 y 5 ' y 2 + 2 y 5 2

Passo 3

Vamos calcular f ' ( y ) usando a regra da cadeia fazendo u = y - 1 . Assim:

f ' y = d d u u 4 ∙ d d y y - 1 ∴

f ' y = 4 u 4 - 1 ∙ y 1 - 1 ∴

f ' y = 4 u 3 ∙ y 0 ∴

f ' y = 4 u 3

Substituindo u :

f ' y = 4 y - 1 3

Passo 4

Com g ' ( y ) é a mesma coisa fazendo u = y 2 + 2 y :

g ' y = d d u u 5 ∙ d d y y 2 + 2 y ∴

g ' y = 5 u 5 - 1 ∙ 2 y 2 - 1 + 2 y 1 - 1 ∴

g ' y = 5 u 4 ∙ 2 y + 2 y 0 ∴

g ' y = 5 u 4 ∙ 2 y + 2

Substituindo u :

g ' y = 5 y 2 + 2 y 4 ∙ 2 y + 2

Passo 5

Agora voltamos a expressão do passo 1 para terminar:

G ' y = f ' y g y - f y g ' y g y 2 ∴

G ' y = 4 y - 1 3 . y 2 + 2 y 5 - y - 1 4 . 5 y 2 + 2 y 4 . 2 y + 2 y 2 + 2 y 5 2 ∴

G ' y = 4 y - 1 3 . y 2 + 2 y 5 - 5 y - 1 4 y 2 + 2 y 4 . 2 y + 2 y 2 + 2 y 5 2 ∴

G ' y = 2 y 2 + 2 y 4 y - 1 2 y 2 + 2 y 4 - 5 y - 1 y + 1 y 2 + 2 y 10 ∴

G ' y = 2 y - 1 3 - 3 y 2 + 4 y + 5 y 2 + 2 y 6

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

G ' y = 2 y - 1 3 - 3 y 2 + 4 y + 5 y 2 + 2 y 6

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