Derivada de Funções Hiperbólicas
Teoria
Derivadas de funções hiperbólicas
Relebrando, é bom a gente dizer como são definidas as funções de e :
Ainda relembrando, a partir delas definimos , , e , com definições iguais às das trigonométricas.
Ex:
Para derivá-las de primeira, aqui vai a fórmula direta:
Essas aqui de cima são as que você mais vai precisar. Repara, são iguais às derivadas de seno e cosseno, exceto que na derivada de não aparece um sinal de menos.
As derivadas das outras são:
Bem parecido com as derivadas das funções trigonométricas normais né?
Na real, é raro aparecer uma hiperbólica diferente de seno ou cosseno, (ou no máximo a da tangente), então foca principalmente em gravar essas derivadas!
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Derive:
Passo 1
Para derivar essa soma, fazemos aqui a soma das derivadas:
Passo 2
Sabemos que a derivada da é ela mesma:
Já a derivada do seno hiperbólico é :
Passo 3
Sendo assim,
Resposta
Exercício Resolvido #2
George B. Thomas Jr., Cálculo volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda, 2009, pp.263-3b modificado
Mostre que a função satisfaz a seguinte equação
Passo 1
Vamos lembrar a fórmula das derivadas da funções hiperbólicas
Passo 2
O que ele quer nessa questão é ver se a segunda derivada é igual a própria função! Então vamos derivar esse cara duas vezes.
A primeira derivada, fica assim:
Passo 3
Segunda derivada:
É, confirmou-se. O é igual ao original. Provamos que
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
Exercício Resolvido #3
Derive:
Passo 1
Ok, não fazemos ideia de como derivar essa divisão de exponenciais aí.
Contudo, se vc for parar para se lembrar de como são definidos seno e cosseno hiperbólico, vai lembrar isso aqui:
Bom, olhando isso, que tal a gente dividir uma equação pela outra?
Cara, a divisão de seno hiperbólico por cosseno hiperbólico resulta na tangente hiperbólica!
Passo 2
Aplicando isso na equação, teremos:
Muito melhor para derivar agora!
Passo 3
Derivando o termo, podemos botar a constante para fora:
Sabemos que a derivada da é ela mesma:
O resultado, portanto, vai ser:
Resposta
Exercício Resolvido #4
Derive:
Passo 1
Para derivar essa soma, fazemos aqui a soma das derivadas:
Passo 2
Vamos fazer uma derivada de cada vez. Começamos pela exponencial:
Derivamos o polinômio agora:
A pode ser derivada pelo que apresentamos na teoria:
Deriva-se o logaritmo:
Agora basta derivar o cosseno hiperbólico:
Passo 3
Sendo assim,
Resposta
Exercício Resolvido #5
Derive:
Passo 1
Para derivar essa coisa doida ai, primeiro vamos aplicar a distributiva só nos termos que não tem quadrado:
Agora vou separar essa função em dois pedaços e fazer um de cada vez. Dessa forma eu deixo pra me preocupar com os termos ao quadrado depois:
Passo 2
Agora pra derivar essas somas e subtrações sem termos ao quadrado basta a gente obedecer as regras de derivação:
Passo 3
Vamos fazer uma derivada de cada vez. Começamos pela tangente:
A pode ser derivada pelo que apresentamos na teoria:
Ja temos a derivada da parte de derivação trigonométrica, que é equivalente a:
E pra fechar, deriva-se o seno hiperbólico:
Passo 4
Sendo assim,
Passo 5
Agora, pra gente fechar e partir pro abraço, vamos olhar o que ficou faltando:
Como tem termos ao quadrado, talvez seja interessante usar as definição das funções hiperbólicas. Vai que conseguimos reescrever de forma mais simples?
Vamos ter então:
Rearranjando, temos:
E logo, a derivada vai ser:
Por fim, temos: