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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.5 - Ex. 28

Encontre a derivada da função dada:

H (x) = ln sqrt(x^2 + 1) - x tgh^(- 1) x

Passo 1

Vamos começar escrevendo a raiz como potência

sqrt(x^2 + 1) = (x^2 + 1)^((1)/(2))

Nossa função vai ficar

H (x) = ln (x^2 + 1)^((1)/(2)) - x tgh^(- 1) x

H (x) = (1)/(2) ln (x^2 + 1) - x tgh^(- 1) x

Vamos usar a regra da cadeia e regra do produto aqui.

Começando com:

F (x) = (1)/(2) ln (x^2 + 1)

Chamei de F (x) só para deixar organizadinho.

Para fazer essa derivada precisamos usar a regra da cadeia.

Vamos fazer

F (x) = g (h (x))

Com

g (x) = (1)/(2) ln x

h (x) = x^2 + 1

Só para organizar as nossas contas.

Vamos ter

F^' (x) = g^' (h (x)) h^' (x)

Temos

g^' (x) = (1)/(2 x)

Então

F^' (x) = (1)/(2 ((h (x))^2 + 1)) h^' (x)

Passo 2

Vamos finalizar achando a derivada de h (x)

h (x) = x^2 + 1 -> h^' (x) = 2 x

Vamos ter

F^' (x) = (1)/(2 ((x^2 + 1)^2 + 1)) 2 x

F^' (x) = (x)/((x^2 + 1)^2 + 1)

Passo 3

Vamos agora para a derivada de

x tgh^(- 1) x

Aqui, vamos usar a regra do produto.

(x tgh^(- 1) x)^' = (x)^' tgh^(- 1) x + x (tgh^(- 1) x)^'

A derivada de tgh^(- 1) é

(tgh^(- 1) x)^' = (1)/(1 - x^2)

Logo

(x tgh^(- 1) x)^' = tgh^(- 1) x + (x)/(1 - x^2)

Passo 4

Agora vamos juntar tudo

H^' (x) = F^' (x) - (x tgh^(- 1) x)^'

H^' (x) = (x)/((x^2 + 1)^2 + 1) - tgh^(- 1) x - (x)/(1 - x^2)

Resposta

H^' (x) = (x)/((x^2 + 1)^2 + 1) - tgh^(- 1) x - (x)/(1 - x^2)

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