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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.5 - Ex. 22

Encontre a derivada da função dada:

F (x) = cotgh^(- 1) (cosh x)

Passo 1

Para fazer essa derivada precisamos usar a regra da cadeia. E lembrar qual a derivada de cotgh^(- 1)

(cotgh^(- 1) x)^' = (1)/(1 - x^2)

Vamos fazer

F (x) = g (h (x))

Com

g (x) = cotgh^(- 1) x

h (x) = cosh x

Só para organizar as nossas contas.

Vamos ter

F^' (x) = g^' (h (x)) h^' (x)

Temos

g^' (x) = (1)/(1 - x^2)

Que é a derivada de cotgh^(- 1)

Então

F^' (x) = (1)/(1 - (h (x))^2) h^' (x)

Passo 2

Vamos finalizar achando a derivada de h (x)

h (x) = cosh x -> h^' (x) = senh x

Vamos ter

F^' (x) = (1)/(1 - (cosh x)^2) senh x

F^' (x) = (senh x)/(1 - cosh^2 x)

Lembrando que

cosh^2 x - senh^2 x = 1

1 - cosh^2 x = - senh^2 x

F^' (x) = (senh x)/(- senh^2 x)

F^' (x) = (1)/(- senh x)

Por fim, temos

(1)/(senh x) = cosech x

F^' (x) = - cosech x

Resposta

F^' (x) = - cosech x

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