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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.5 - Ex. 17

Encontre a derivada da função dada:

f (x) = x^2 cosh^(- 1) x^2

Passo 1

f (x) = x^2 cosh^(- 1) x^2

Vamos usar a regra da cadeia e regra do produto aqui. Pela regra do produto

f^' (x) = (x^2)^' cosh^(- 1) x^2 + x^2 (cosh^(- 1) x^2)^'

Temos que achar a derivada daquele cosh^(- 1) x^2 usando a regra da cadeia.

Fazendo

F (x) = cosh^(- 1) x^2

Chamei de F (x) só para deixar organizadinho.

Para fazer essa derivada precisamos usar a regra da cadeia.

Vamos fazer

F (x) = g (h (x))

Com

g (x) = cosh^(- 1) x

h (x) = x^2

Só para organizar as nossas contas.

Vamos ter

F^' (x) = g^' (h (x)) h^' (x)

Temos

g^' (x) = (1)/(sqrt(x^2 - 1))

Então

F^' (x) = (1)/(sqrt((h (x))^2 - 1)) h^' (x)

Passo 2

Vamos finalizar achando a derivada de h (x)

h (x) = x^2 -> h^' (x) = 2 x

Vamos ter

F^' (x) = (1)/(sqrt((x^2 + 1)^2 - 1)) 2 x

F^' (x) = (1)/(sqrt(x^4 + 2 x^2 + 1 - 1)) 2 x

F^' (x) = (2 x)/(sqrt(x^4 + 2 x^2))

Passo 3

Voltando para nossa função inicial:

f^' (x) = (x^2)^' cosh^(- 1) x^2 + x^2 (cosh^(- 1) x^2)^'

f^' (x) = 2 x cosh^(- 1) x^2 + x^2 (2 x)/(sqrt(x^4 + 2 x^2))

f^' (x) = 2 x cosh^(- 1) x^2 + (2 x^3)/(sqrt(x^4 + 2 x^2))

Resposta

f^' (x) = 2 x cosh^(- 1) x^2 + (2 x^3)/(sqrt(x^4 + 2 x^2))

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