Derivada de Ordem Superior – Achando Padrão
Teoria
Derivação de ordem superior
Vamos dar uma lembrada de como se faz a derivada de ordem superior
Bom, a segunda derivada de uma função é a derivada de sua derivada:
Para a derivada terceira o mesmo:
Para as próximas ordens é só continuar derivando.
Existe uma série de funções que tem padrões de acordo com a ordem das suas derivadas, e é isso que veremos aqui!
Padrão de derivação: seno
Derivamos o seno:
Suas derivadas segunda, terceira e quarta podem ser achadas:
Quer dizer então que a derivada quarta do seno é ele mesmo? Então, isso significa que haverá um padrão de em derivadas. Para calcular a derivada de grau , teremos:
Onde é o conjunto dos números naturais .
Essa fórmula estranha diz que as derivadas vão “andando” em blocos de derivadas sequenciais. O primeiro de cada bloco será , depois e assim por diante!
Padrão de derivação: cosseno
A definição vai ser muito parecida com a do seno aqui, vamos em blocos de também nas derivadas:
Suas derivadas segunda, terceira e quarta podem ser achadas:
Para calcular a derivada de grau do cosseno, teremos:
Padrão de derivação: logaritmo
Vamos derivando o até encontrarmos algum padrão:
Primeiro, vamos olhar na potência de : Aparecia um expoente igual a sua ordem mas com um , certo?
Segundo, repara que vai aparecendo uma multiplicação de todos os termos anteriores ao grau da derivada? Quer dizer, é como se tivéssemos um fatorial até o número anterior a ordem da derivada.
Por fim, temos que pensar no padrão dos sinais de menos ali. Na derivada segunda tínhamos um , na terceira tínhamos dois, na quarta três. Ou seja, é como se fosse:
Faz sentido? Agora, a -ésima derivada do logaritmo vai ser dada pela junção desses três padrões que achamos:
Padrão de derivação: exponencial
Rapaz, qual é a derivada de ?
Ué, se a derivada dele é ele mesmo, então sempre teremos ele como resultado! Sua -ésima derivada será:
O que pode complicar? Se tiver uma constante dentro da exponencial!
Repara que a cada grau de derivada apareceria mais um , ou seja:
OBS: Para bases diferente de , a derivada é dada por,
Nesse caso, a -ésima derivada seria:
Padrão de derivação: seno
Padrão de derivação: cosseno
Padrão de derivação: logaritmo
Padrão de derivação: exponencial
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Elaboração Própria
Determine sendo que
Passo 1
Aqui ele quer a derivada de ordem , isso é aquele exercício de achar o padrão da derivada.
A forma de achar o padrão é ir derivando até entender o padrão mesmo, não tem muito que fazer aqui. Temos uma soma de seno com cosseno, então vamos dar uma arrumada nessa função para ficar mais fácil de achar os padrões
Com
e
Passo 2
Vamos começar com
Repara que eu fui derivando, e quando cheguei na derivada ela foi igual a função, se eu continuar derivando esse ciclo vai se repetir, isso porque a função seno fica indo para a cosseno e vice versa só variando as vezes o sinal. Então vamos ter
O primeiro, com é somando passamos a ter e a função volta a ser , então sempre que for múltiplo de vai ser . Usando esse mesmo raciocínio podemos ir somando , ou para achar as outras possíveis , assim a nossa é como está escrito ali em cima.
Passo 3
Vamos agora para
Repara que eu fui derivando, e quando cheguei na derivada ela foi igual a função de novo.
Se eu continuar derivando esse ciclo vai se repetir, isso porque a função cosseno fica indo para a seno e vice versa só variando as vezes o sinal. Então vamos ter
O primeiro, com é somando passamos a ter e a função volta a ser , então sempre que for múltiplo de vai ser . Usando esse mesmo raciocínio podemos ir somando , ou para achar as outras possíveis , assim a nossa é como está escrito ali em cima.
Aqui aconteceu algo que vale a pena ser falado, sempre que você tiver um seno ou um cosseno numa questão dessa de achar padrão da derivada não esqueça dividir de em derivadas a sua análise, então fica ligado nesse detalhe.
Passo 4
Opa, agora temos e , vamos para o que ele pediu
Então nossa função vai ser
Opa, os pedaços acontecem nos mesmos valores de , então podemos juntar essa parada
Resposta
Exercício Resolvido #2
James Stewart, Cálculo Vol. 1, 5ª ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2006, pg 248 exercício 49
Encontre uma fórmula para se
Passo 1
Aqui ele quer a derivada de ordem , isso é aquele exercício de achar o padrão da derivada.
A forma de achar o padrão é ir derivando até entender o padrão mesmo, não tem muito que fazer aqui.
Passo 2
Então, vamos derivar
Passo 3
Opa está surgindo um padrão nessa parada, sempre vamos “descer” o número seguinte negativo, vamos ignorar o sinal por enquanto, consegue perceber que aquele produto vai ser um fatorial? Assim oh
Passo 4
Além disso, os sinais vão trocando em cada derivada. Para as derivadas de ordem par a derivada vai ser negativa e para as derivadas de ordem ímpar a derivada vai ser positiva. Podemos escrever isso assim
Sacou? Sempre que ele for mudando o sinal é só colocar elevado a ordem da derivada mais .
Passo 5
Falta só ver que o expoente é sempre a ordem com um sinal negativo na frente e que o fatorial é sempre a ordem da derivada menos , assim a nossa derivada vai ser
Passo 6
Vamos agora fazer algumas análises dessa parada que achamos, a primeira coisa é ver que se a nossa função não tem nada a ver com essa que escrevemos ali.
Assim vamos ter na verdade sendo
Passo 7
A próxima parada importante para olharmos é se as derivadas estão definidas em todos os pontos que a própria função está definida.
A função é definida em
Assim
E o ponto que as derivadas tem problemas é quando aquele for , mas isso acontece em , que não está definido na função, então temos tudo tranquilo.
Resposta
Exercício Resolvido #3
George B. Thomas Jr., Cálculo volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda, 2009, pp.186-49
Determine
Passo 1
Da nossa definição na teoria, tínhamos achado
A questão aqui é só de enquadrar a derivada do cosseno em um desses casos. Qual deles?
Passo 2
Repara, que a divisão de 999 por 4 gera quociente 249 e resto 3. Portanto, podemos escrever
Passo 3
Se olharmos na nossa tabelinha vemos que 999 se enquadra no caso , basta fazer .
Passo 4
Portanto:
Resposta
Exercício Resolvido #4
Elaboração Própria
Determine sendo que
Passo 1
Fazer a primeira derivada
Aqui ele quer a derivada de ordem , isso é aquele exercício de achar o padrão da derivada.
A forma de achar o padrão é ir derivando até entender o padrão mesmo, não tem muito que fazer aqui. E pra gente começar a derivar, precisamos olhar bem fundo nos olhos da função e descobrir o que ela é, então vou deixar aqui pra vocês se olharem:
Bem, ela não é nem e nem e sim uma mistura dos dois! Quando temos uma mistura assim, onde uma função tá dentro da outra, a gente já taca logo uma regra da cadeia. Só pra lembrar, se:
Então a derivada vai ser:
Olhando no fundo dos olhos da nossa função ela vira pra gente e mostra que, no modelo acima, e vão ser:
E suas derivadas:
Show, então a primeira derivada fica:
Passo 2
Fazer as próximas derivadas
Ok, temos a primeira derivada. Mas e agora? Como achar o padrão? Tem jeito não, temos que derivar várias vezes até achar um. Mas olha só uma macete na hora achar o padrão:
Quando derivarmos isso várias vezes, vamos acabar usando a regra do quociente. Pra lembrar também, a regra do quociente vai ser:
Se e , dá uma olhada em como fica a segunda derivada:
Viu que o denominador foi ao quadrado? Então da primeira pra segunda derivada a gente já viu que a ordem do polinômio no denominador subiu em uma unidade. Se a gente derivar de novo e acontecer a mesma coisa então, vai ser show porque estaremos bem encaminhados!
Perceba que tivemos que usar a regra da cadeia de novo pra derivar . Tem jeito não, nessa questão vamos misturar regra do quociente e da cadeia algumas vezes
Vamos derivar mais três vezes só, beleza? A próxima derivada:
E a próxima:
E a última:
Passo 3
Analisar o padrão obtido pelo resultado anterior
Show de bola, vamos reunir tudo que achamos:
A primeira coisa que temos que perceber aqui é que pra não encaixa em nenhum padrão. Afinal, essa é a única derivada que tem em lugar nenhum um termo ! Então vamos achar um padrão para .
Se olharmos as derivadas, vamos ver que:
- Todas as derivadas possuem um termo e um termo
- O termo é negativo toda vez que a ordem de derivação é ímpar e positivo toda vez que a ordem de derivação é par
- O termo é negativo toda vez que a ordem de derivação é par e positivo toda vez que a ordem de derivação é ímpar
- Todas as derivadas possuem uma potência de dividindo de ordem igual à ordem de derivação
- As constantes multiplicando as derivadas seguem a ordem fatorial em relação à ordem da derivada, porém dividido por :
- Constante que multiplica
- Constante que multiplica
- Constante que multiplica
- Constante que multiplica
Juntando todas essas informações, podemos concluir que:
Resposta
Exercício Resolvido #5
Elaboração Própria
Determine sendo que
Passo 1
Fazer a primeira derivada
Aqui ele quer a derivada de ordem , isso é aquele exercício de achar o padrão da derivada.
A forma de achar o padrão é ir derivando até entender o padrão mesmo, não tem muito que fazer aqui. E pra gente começar a derivar, precisamos olhar bem fundo nos olhos da função e descobrir o que ela é, então vou deixar aqui pra vocês se olharem:
Bem, ela não é nem e nem e sim uma mistura dos dois! Quando temos uma mistura assim, onde uma função tá multiplicada pela outra, a gente já taca logo uma regra do produto. Só pra lembrar, se:
Então a derivada vai ser:
Olhando no fundo dos olhos da nossa função ela vira pra gente e mostra que, no modelo acima, e vão ser:
E suas derivadas vão ser:
E pra , derivar pode ser um pouco mais enrolado. Mas se olharmos a função dessa forma:
Podemos usar a regra da cadeia pra derivar:
A primeira derivada fica:
Saca só o que vamos fazer agora: colocar tudo no mesmo denominador. Pra que? Bem, aquele não casa muito bem com o denominador da outra parcela. Então bora lá mudar isso:
Opa, quer dizer então que ? Certíssimo! A primeira derivada fica:
Passo 2
Fazer as próximas derivadas
Ok, temos a primeira derivada. Mas e agora? Como achar o padrão? Tem jeito não, temos que derivar várias vezes até achar um. Mas olha de novo porque escrevemos a primeira derivada daquela forma:
Quando derivarmos isso várias vezes, vamos acabar usando a regra do quociente. Pra lembrar também, a regra do quociente vai ser:
Se e , dá uma olhada em como fica a segunda derivada:
Sendo exatamente o mesmo valor da primeira derivada, ficamos com:
Viu que o denominador foi ao quadrado? Então da primeira pra segunda derivada a gente já viu que a ordem do polinômio no denominador subiu em uma unidade. Se a gente derivar de novo e acontecer a mesma coisa então, vai ser show porque estaremos bem encaminhados!
E outra coisa muito importante: o termo sumiu! Agora que ele sumiu as coisas vão ficar mais fáceis de derivar! E mais fácil de achar o padrão também.
Trabalho braçal agora, infelizmente. A terceira derivada então vai ser:
Vamos derivar mais três vezes só, beleza? A próxima derivada:
E a próxima:
E a última:
Passo 3
Analisar o padrão obtido pelo resultado anterior
Show de bola, vamos reunir tudo que achamos:
A primeira coisa que temos que perceber aqui é que pra não encaixa em nenhum padrão. Afinal, essa é a única derivada que tem um em algum lugar! Então vamos achar um padrão para .
Se olharmos as derivadas, vamos ver que:
- Todos eles tem um intocado!
- Todos eles tem o dividido por uma potência de de ordem igual à quantidade de vezes que o foi derivado!
- Todas as derivadas de ordem par são positivas, e todas as derivadas de ordem ímpar são negativas
- As constantes (em módulo) multiplicando seguem a ordem fatorial com duas unidades de atraso em relação à ordem da derivada.
- Constante que multiplica, em módulo,
- Constante que multiplica, em módulo,
- Constante que multiplica, em módulo,
- Constante que multiplica, em módulo,
- Constante que multiplica, em módulo,
Juntando todas essas informações, podemos concluir que: