Derivada de Ordem Superior – Achando Padrão

Produzido por Arthur Melo de Almeida
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Teoria

Derivação de ordem superior

Vamos dar uma lembrada de como se faz a derivada de ordem superior

Bom, a segunda derivada de uma função é a derivada de sua derivada:

f ' ' x = f ' x '

Para a derivada terceira o mesmo:

f ' ' ' x = f ' ' x ' = f ' x ' '

Para as próximas ordens é só continuar derivando.

Existe uma série de funções que tem padrões de acordo com a ordem das suas derivadas, e é isso que veremos aqui!

Padrão de derivação: seno

Derivamos o seno:

sen ⁡ x ' = cos ⁡ x

Suas derivadas segunda, terceira e quarta podem ser achadas:

sen ⁡ x ' ' = cos ⁡ x ' = - sen ⁡ x

sen ⁡ x ' ' ' = - sen ⁡ x ' = - cos ⁡ x

sen ⁡ x 4 = - cos ⁡ x ' = sen ⁡ x

Quer dizer então que a derivada quarta do seno é ele mesmo? Então, isso significa que haverá um padrão de 4 em 4 derivadas. Para calcular a derivada de grau N , teremos:

sen ⁡ x k = - sen ⁡ x ,               s e   k = 4 n + 2   p a r a   n ∈ N - cos ⁡ x ,                 s e   k = 4 n + 3   p a r a   n ∈ N sen ⁡ x ,                         s e   k = 4 n   p a r a   n ∈ N cos ⁡ x ,                                         s e   k = 4 n + 1   p a r a   n ∈ N

Onde N é o conjunto dos números naturais 0,1 , 2,3 , … .

Essa fórmula estranha diz que as derivadas vão “andando” em blocos de 4 derivadas sequenciais. O primeiro de cada bloco será cos ⁡ x , depois - sen ⁡ x e assim por diante!

Padrão de derivação: cosseno

A definição vai ser muito parecida com a do seno aqui, vamos em blocos de 4 também nas derivadas:

cos ⁡ x ' = - sen ⁡ x

Suas derivadas segunda, terceira e quarta podem ser achadas:

cos ⁡ x ' ' = - sen ⁡ x ' = - cos ⁡ x

cos ⁡ x ' ' ' = - cos ⁡ x ' = sen ⁡ x

cos ⁡ x 4 = sen ⁡ x ' = cos ⁡ x

Para calcular a derivada de grau N do cosseno, teremos:

cos ⁡ x k = - sen ⁡ x             ,   s e   k = 4 n + 1   p a r a   n ∈ N - cos ⁡ x             ,   s e   k = 4 n + 2   p a r a   n ∈ N sen ⁡ x                     ,   s e   k = 4 n + 3   p a r a   n ∈ N cos ⁡ x                                     ,   s e   k = 4 n   p a r a   n ∈ N

Padrão de derivação: logaritmo

Vamos derivando o ln ⁡ x até encontrarmos algum padrão:

f x = ln ⁡ x

f ' x = ln ⁡ x ' = 1 x = x - 1

f ' ' x = x - 1 ' = - 1 x - 2

f ' ' ' x = - 1 x - 2 ' = - 1 - 2 x - 3

f 4 x = - 1 - 2 x - 3 ' = - 1 - 2 - 3 x - 4

Primeiro, vamos olhar na potência de x : Aparecia um expoente igual a sua ordem mas com um - , certo?

Segundo, repara que vai aparecendo uma multiplicação de todos os termos anteriores ao grau da derivada? Quer dizer, é como se tivéssemos um fatorial até o número anterior a ordem da derivada.

n - 1 !

Por fim, temos que pensar no padrão dos sinais de menos ali. Na derivada segunda tínhamos um - , na terceira tínhamos dois, na quarta três. Ou seja, é como se fosse:

- 1 n - 1

Faz sentido? Agora, a n -ésima derivada do logaritmo vai ser dada pela junção desses três padrões que achamos:

ln ⁡ x n = - 1 n - 1 n - 1 ! x - n

Padrão de derivação: exponencial

Rapaz, qual é a derivada de e x ?

f ' x = e x ' = e x

Ué, se a derivada dele é ele mesmo, então sempre teremos ele como resultado! Sua n -ésima derivada será:

e x n = e x

O que pode complicar? Se tiver uma constante dentro da exponencial!

e k x ' = k e k x

k e k x ' = k 2 e k x

k 2 e k x ' = k 3 e k x

Repara que a cada grau de derivada apareceria mais um k , ou seja:

e k x n = k n e k x

OBS: Para bases diferente de e , a derivada é dada por,

a x ' = ln ⁡ a a x

Nesse caso, a n -ésima derivada seria:

a x n = ln ⁡ a n a x

Padrão de derivação: seno

Padrão de derivação: cosseno

Padrão de derivação: logaritmo

Padrão de derivação: exponencial

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