Derivada de Ordem Superior – Achando Padrão
Produzido por Arthur Melo de AlmeidaTeoria
Derivação de ordem superior
Vamos dar uma lembrada de como se faz a derivada de ordem superior
Bom, a segunda derivada de uma função é a derivada de sua derivada:
Para a derivada terceira o mesmo:
Para as próximas ordens é só continuar derivando.
Existe uma série de funções que tem padrões de acordo com a ordem das suas derivadas, e é isso que veremos aqui!
Padrão de derivação: seno
Derivamos o seno:
Suas derivadas segunda, terceira e quarta podem ser achadas:
Quer dizer então que a derivada quarta do seno é ele mesmo? Então, isso significa que haverá um padrão de em derivadas. Para calcular a derivada de grau , teremos:
Onde é o conjunto dos números naturais .
Essa fórmula estranha diz que as derivadas vão “andando” em blocos de derivadas sequenciais. O primeiro de cada bloco será , depois e assim por diante!
Padrão de derivação: cosseno
A definição vai ser muito parecida com a do seno aqui, vamos em blocos de também nas derivadas:
Suas derivadas segunda, terceira e quarta podem ser achadas:
Para calcular a derivada de grau do cosseno, teremos:
Padrão de derivação: logaritmo
Vamos derivando o até encontrarmos algum padrão:
Primeiro, vamos olhar na potência de : Aparecia um expoente igual a sua ordem mas com um , certo?
Segundo, repara que vai aparecendo uma multiplicação de todos os termos anteriores ao grau da derivada? Quer dizer, é como se tivéssemos um fatorial até o número anterior a ordem da derivada.
Por fim, temos que pensar no padrão dos sinais de menos ali. Na derivada segunda tínhamos um , na terceira tínhamos dois, na quarta três. Ou seja, é como se fosse:
Faz sentido? Agora, a -ésima derivada do logaritmo vai ser dada pela junção desses três padrões que achamos:
Padrão de derivação: exponencial
Rapaz, qual é a derivada de ?
Ué, se a derivada dele é ele mesmo, então sempre teremos ele como resultado! Sua -ésima derivada será:
O que pode complicar? Se tiver uma constante dentro da exponencial!
Repara que a cada grau de derivada apareceria mais um , ou seja:
OBS: Para bases diferente de , a derivada é dada por,
Nesse caso, a -ésima derivada seria: