Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.4 - Ex. 62
Encontre a n-ésima derivada de cada função calculando algumas das primeiras derivadas e observando o padrão que ocorre.
(a)
(b)
Passo 1
Fala aí! tudo certinho?
Nesse problema queremos obter a n-ésima derivada de e
Tem ideia de como fazemos isso? 🤔
Nesses casos, para calcular suas derivadas, podemos aplicar a regra da potência
Mas e a n-ésima derivada? Como podemos calcular? 👀
Vamos calcular varias derivadas de cada um dos casos para poder encontrar uma relação de recorrência e encontrar uma expressão para calcular qualquer derivada dos casos.
Veja só! 😉
Passo 2
Queremos obter a n-ésima derivada de
A primeira derivada é dada pela regra da derivada da potência, assim:
A segunda derivada é a derivada da primeira, assim:
A terceira derivada é a derivada da segunda, assim:
E assim por diante...
A n-ésima derivada será então:
Se e , temos
Tranquilo até aqui? 😊
Passo 3
Queremos achar, também, a n-ésima derivada da função
Iremos fazer o mesmo procedimento do item :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Terceira derivada:
n-ésima derivada:
E aí! o que achou? Responde Aí! 😬
Resposta
a)
b)