Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.1 - Ex. 67
Encontre um polinômio de segundo grau P tal que .
Passo 1
Para encontrar um polinômio de segundo grau que satisfaça as condições dadas, podemos seguir esta estratégia de resolução:
Para expressar o polinômio de segundo grau na forma geral, inicialmente, supomos que tem a forma onde são coeficientes a serem determinados.
2. **Impor as condições dadas:** Substituímos e igualamos os resultados às condições dadas:
- Isso nos dará uma equação para .
-: Isso nos dará uma equação adicional.
- Isso nos dará uma terceira equação.
Para resolver o sistema de equações resultante teremos um sistema de três equações lineares em
Podemos resolver esse sistema para determinar os valores dos coeficientes
Para escrever o polinômio final depois de encontrar os valores de , substituímos esses valores na expressão do polinômio de segundo grau .
Vamos seguir esses passos para encontrar o polinômio de segundo grau que satisfaz as condições dadas.
Passo 2
O primeiro dado pode ser usado. É só substituir por 2. Assim:
Desta forma, temos a primeira equação com três variáveis , e que são os coeficientes (constantes) do polinômio que queremos descobrir.
Antes de usarmos o segundo dado, devemos derivar , assim:
P
e daí temos:
Passo 3
E assim temos a segunda equação
Para obtermos a segunda derivada de derivamos a primeira :
, logo temos que
Passo 4
Sabendo que , então, podemos achar substituindo o valor de na equação .
Logo, tem-se que:
E, daí, pela equação tem-se que:
Portanto,