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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 3.7 - Ex. 65

Determine as expressões para as cinco primeiras derivadas de f x = x 2 e x . Você vê alguma regra nessas expressões?

Proponha uma fórmula para f n x e prove-a usando a indução matemática

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema foi dada a função

f x = x 2 e x

E nosso objetivo é calcular as cinco primeiras derivadas de f e determinar uma relação de recorrência entre elas para obter uma formula para n derivadas de f .

Parece complicado?

Podemos perceber que f é um produto de funções de x , então para calcular suas derivadas temos que aplicar a regra do produto.

f x = g x · h x ,     f ' x = g ' x · h x + g x · h ' x

Lembrando que pelo teorema fundamental do calculo, temos que

d e x d x = e x

Assim, calculando as cinco primeiras derivadas, vamos tentar visualizar alguma formula para f n .

Bora lá!

Passo 2

Vamos derivar as cinco vezes então.

1ª derivada:

f ' x = d d x x 2 e x

Utilizando a regra do produto:

f ' x = d d x x 2 ⋅ e x + d d x e x ⋅ x 2

f ' x = 2 x e x + x 2 e x

f ' x = 2 x + x 2 e x

2ª derivada:

f ' ' x = d d x 2 x + x 2 e x

Usando a regra do produto para derivar:

f ' ' x = d d x 2 x + x 2 · e x + 2 x + x 2 · d d x e x

f ' ' x = 2 + 2 x e x + 2 x + x 2 e x

f ' ' x = 2 + 4 x + x 2 e x

3ª derivada:

f ' ' ' x = d d x 2 + 4 x + x 2 e x

Aplicando a regra do produto.

f ' ' ' x = d d x 2 + 4 x + x 2 · e x + 2 + 4 x + x 2 · d d x e x

f ' ' ' x = 4 + 2 x · e x + 2 + 4 x + x 2 · e x

f ' ' ' x = 6 + 6 x + x 2 e x

4ª derivada:

f ' ' ' ' x = d d x 6 + 6 x + x 2 e x

Aplicando a regra do produto

f ' ' ' ' x = d d x 6 + 6 x + x 2 · e x + 6 + 6 x + x 2 · d d x e x

f ' ' ' ' x = 6 + 2 x · e x + 6 + 6 x + x 2 · e x

f ' ' ' ' x = 12 + 8 x + x 2 e x

E por último, 5ª derivada:

f ' ' ' ' ' x = d d x ( 12 + 8 x + x 2 e x )

Novamente pela regra do produto...

f ' ' ' ' ' x = d d x 12 + 8 x + x 2 · e x + 12 + 8 x + x 2 · d d x e x

f ' ' ' ' ' x = 8 + 2 x · e x + 12 + 8 x + x 2 · e x

f ' ' ' ' ' x = 20 + 10 x + x 2 e x

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Podemos perceber a seguinte semelhança entre eles?

f 1 x = e x x 2 + 2 x + 0

f 2 x = e x x 2 + 4 x + 2

f 3 x = e x x 2 + 6 x + 6

f 4 x = e x x 2 + 8 x + 12

f 5 x = e x x 2 + 10 x + 20

O coeficiente do x 2 é sempre 1, do x é sempre duas vezes o numero da derivada 2 n e o ultimo termo é sempre o grau da derivada vezes um numero menor, observe:

0 = 1 ⋅ 0

2 = 2 ⋅ 1

6 = 3 ⋅ 2

12 = 4 ⋅ 3

20 = 5 ⋅ 4

Então a expressão para f n x , vai ficar:

f n x = e x x 2 + 2 n x + n n - 1

Bacana, não é?

Passo 4

Agora vamo provar pela indução matemática:

Se substituirmos n por k , temos f k x = e x x 2 + 2 k x + k k - 1

Então

f k + 1   x = e x x 2 + 2 k + 1 x + k + 1 k + 1 - 1

f k + 1   x = e x x 2 + 2 k x + 2 x + k 2 + k

Vamos derivar f k x para ver se obtemos a mesma expressão de f k + 1 x :

f k + 1   x = d d x e x x 2 + 2 k x + k k - 1

Regra do produto:

f k + 1   x = d d x e x ⋅ x 2 + 2 k x + k k - 1 + d d x x 2 + 2 k x + k k - 1 ⋅ e x

f k + 1   x = e x ⋅ x 2 + 2 k x + k k - 1 + 2 x + 2 k ⋅ e x

Juntando os termos:

f k + 1   x = e x ⋅ x 2 + 2 k x + k k - 1 + 2 x + 2 k

f k + 1   x = e x ⋅ x 2 + 2 k x + k 2 - k + 2 x + 2 k

f k + 1   x = e x x 2 + 2 k x + 2 x + k 2 + k

Prontinho, chegamos na mesma expressão, então a expressão

f n x = e x x 2 + 2 n x + n n - 1

está correta.

E aí! o que achou? Responde Aí!

Resposta

f n x = e x x 2 + 2 n x + n n - 1

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