Coeficientes Constantes Não Homogênea-Variação dos Parâmetros
Teoria
Introdução:
Faaaaaaala tu, tatu! Tudo bem? Meu anjo, a gente já viu um bocado de coisa de EDO superior né? Já vimos o caso homogêneo e o não homogêneo, mas ainda precisamos ver um outro caso não homogêneo.
Na real, esse é um método de resolver EDO superior não homogênea, beeeeeem similar ao que vimos em EDO de ordem! Tá, é uma extensão, vai!
Agora vamos ver como resolver EDO’s de ordem superior com coeficientes constantes não homogênea. Elas têm a seguinte forma:
Com todos constantes.
Nesse caso, precisamos fazer como fazíamos lá em EDO de 2ª ordem não homogênea. Ou seja, resolver a EDO homogênea associada, e achar uma solução particular dessa EDO com . A solução vai ser:
Tu lembra como se resolve EDO não homogênea? Aqui uma colinha:
Encontrando a Solução Geral:
Agora vamos ver como encontrar a solução de EDO’s de ordem superior com coeficientes constantes não homogênea.
O processo será:
- Resolver a EDO como se fosse homogênea – solução homogênea:
- Encontrar a solução particular:
- Encontrar solução geral:
Bora começar com um exemplo? Se liga
Exemplo:
Considere a seguinte EDO:
Vamos encontrar a solução da EDO homogênea associada:
A equação auxiliar é:
Colocando em evidência temos:
Temos:
Ou
Então:
Vamos ter:
Portanto as raízes são:
Portanto, a solução da equação homogênea associada é:
Agora vamos encontrar a solução particular da equação não homogênea. Você lembra como fazíamos isso em EDO de ordem? Dá uma olhadinha nisso aqui, a gente já volta pro nosso exemplo
Relembrando :
Agora vamos relembrar como fazíamos para encontrar para EDO’s de 2ª Ordem com não homogênea pelo Método da Variação dos Parâmetros. Só para recordar, a gente usava esse método quando não era um produto/soma das funções trigonométricas, exponenciais ou polinomiais.
A EDO era da forma:
Onde são funções contínuas.
Nós supomos que:
Onde e eram soluções da EDO homogênea associada.
Nós derivamos , substituímos na EDO e após algumas contas achamos como calcular e :
Onde
Logo, a gente encontrava .
Vamos ver nessa seção que, o que fazíamos para EDO’s de ordem 2, é na verdade, um caso específico. Ou seja, vamos ver que na verdade o método da variação de parâmetros pode ser usado para EDO’s de ordem superiores. Vamos lá!!!
Voltando ao nosso caso...
Variação dos Parâmetros: Ordem Superior
Aqui vai ser um pouco parecido com antes, só que as contas vão ser um bocado maiores.
Imagina que temos aquela EDO não homogênea, a primeira coisa a fazer é achar a solução da EDO homogênea associada.
Com isso vamos achar , para a conta da variação de parâmetros vamos considerar essas soluções sem as constantes, por exemplo, antes tínhamos:
Para a variação de parâmetros vamos considerar
Beleza?
A nossa solução particular vai ser da seguinte forma
Precisamos achar esses ,que nada mais são que funções de . A conta é uma formulinha, um pouco trabalhosa, mas através dela conseguimos resolver o problema.
No nosso exemplo, o método supõe que:
Sendo e
Então:
Beleza, agora pra gente chegar a algum lugar com isso, precisaremos introduzir umas novas fórmulinhas. Vamos primeiro considerar a matriz
No nosso caso, essa matriz é:
Calculando as derivadas:
Temos também:
Falta ainda:
Substituindo em temos:
Calculando temos:
Pois
Além do , vamos precisar saber da matriz , que vai ser a matriz trocando a coluna pela coluna
Por exemplo:
Mais um exemplo:
Outro exemplo:
Deu pra entender né?!
No nosso caso,
Agora vamos calcular e :
Substituindo temos:
Calculando :
Calculando :
Tudo isso que estamos fazendo é pra chegar nos , com , que vão ser encontrados resolvendo a seguinte conta
Por exemplo, para vamos ter:
Para :
Para :
Esse é importante para manter a ordem da parada e as contas darem certinho.
Sacou?! Agora vamos calcular e do nosso caso:
Sendo
Substituindo:
Eu apenas multipliquei em cima e em baixo por
Fazendo a distributiva temos:
Vamos fazer a substituição:
Fica:
Vamos fazer a substituição:
Então:
Portanto:
Vamos calcular :
Substituindo:
Portanto:
Vamos calcular :
Substituindo:
Vamos fazer a substituição:
Temos:
Vamos fazer a substituição:
Fica:
Portanto:
Portanto a solução particular fica:
Logo a solução geral será:
Bora pros exercícios!!!
Relembrando y p :
Variação dos Parâmetros: Ordem Superior
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Denis G. Zill, Equações Diferenciais Volume I , 3ª ed. São Paulo: PEARSON Education do Brasil ltda., 2007, pp. 217 - 24
Resolva pelo método da variação dos parâmetros a EDO a seguir e defina um intervalo no qual a solução geral seja válida:
Passo 1
Vamos começar encontrar a solução da EDO homogênea associada:
A equação auxiliar é:
Passo 2
Agora vamos resolvê-la:
As raízes são:
Passo 3
Agora que temos as raízes podemos encontrar a solução da homogênea:
A solução da homogênea associada é:
Passo 4
Agora vamos calcular a solução particular da EDO não homogênea:
O método da variação dos parâmetro supõe que :
Substituindo:
Porém vimos que para encontrar e precisamos calcular e
Passo 5
Vamos calcular e :
Para calculá-lo, vamos calcular as derivadas necessárias:
De temos:
De temos:
De temos:
Passo 6
Agora podemos encontrar:
Substituindo:
Como temos uma matriz triangular, o determinante é dado pelo produto dos elementos da diagonal principal:
Passo 7
Vamos calcular :
Substituindo:
Passo 8
Vamos calcular :
Substituindo:
Passo 9
Vamos calcular :
Substituindo:
Passo 10
Vamos calcular :
Da EDO temos :
Substituindo:
Calculando a integral:
Passo 11
Vamos calcular :
Da EDO temos :
Substituindo:
Calculando a integral:
Passo 12
Vamos calcular :
Da EDO temos :
Substituindo:
Calculando a integral:
Vamos integrar por partes:
Encontramos:
Então temos:
Vamos usar a integral por partes mais uma vez para calcular essa integral:
Encontramos:
A integral fica:
Substituindo me :
Passo 13
Podemos então encontrar a solução particular:
Substituindo:
Ajeitando:
Passo 14
A solução geral vai ser:
Passo 15
Veja que a solução geral está definida para todo .
Resposta
Exercício Resolvido #2
William E. Boyce e Richard C. DiPrima, Equações diferenciais elementares e problemas de contorno, 8ª ed., Rio de Janeiro: LTC, 2010, pp. 130, exercício 1 – modificado
Use o método da variação dos parâmetros para determinar a solução geral da equação diferencial dada
Com
Passo 1
Bem aqui temos uma EDO que é não homogênea, para resolver essa EDO temos que achar a solução da EDO homogênea equivalente primeiro, depois vamos achar a solução particular.
A EDO homogênea equivalente vai ser
Para resolvermos essa EDO temos que achar a equação característica dessa EDO
Passo 2
Vamos resolver essa equação agora
A primeira coisa que vamos fazer é colocar o em evidência
Assim vamos ter
E
Passo 3
Agora que temos as raízes podemos ver como vão ser as soluções.
Repara que todas as raízes tem multiplicidade , então as soluções vão ser
A nossa solução da homogênea vai ser
Passo 4
Vamos agora para a solução particular dessa EDO.
Com
Ele disse para usarmos o método da variação de parâmetros para resolver isso. Mesmo que ele não tivesse dito como aquela função do lado direito é ela não se enquadra naquelas do coeficientes a determinar, então precisamos usar o método da variação de parâmetros mesmo.
A nossa solução particular vai ser
Onde
Que são as funções que achamos da homogênea sem as constantes.
Precisamos achar , e , para isso temos que achar a matriz que vimos na teoria, vai ser
Além disso devemos achar , e
E nossas funções vão ser
Com
Passo 5
Vamos começar com
Vamos achar esses determinantes
Vamos ter
Passo 6
Vamos começar com
Vamos achar o
Vamos ter
Passo 7
Vamos começar com
Vamos achar o
Vamos ter
Passo 8
Assim vamos ter
E a nossa solução particular vai ser
Onde
Vamos ter
Passo 9
A nossa solução vai ficar
Resposta
Exercício Resolvido #3
Denis G. Zill, Equações Diferenciais Volume I , 3ª ed. São Paulo: PEARSON Education do Brasil, 2007, pp. 217 - 23
Resolva pelo método da variação dos parâmetros a EDO a seguir e defina um intervalo no qual a solução geral seja válida:
Passo 1
Vamos começar encontrar a solução da EDO homogênea associada:
A equação auxiliar é:
Passo 2
Agora vamos resolvê-la:
Colocando em evidência:
Colocando em evidência:
As raízes são:
Passo 3
Agora que temos as raízes podemos encontrar a solução da homogênea:
A solução da homogênea associada é:
Passo 4
Agora vamos calcular a solução particular da EDO não homogênea:
O método da variação dos parâmetro supõe que :
Substituindo:
Porém vimos que para encontrar e precisamos calcular e
Passo 5
Vamos calcular e :
Para calculá-lo, vamos calcular as derivadas necessárias:
De temos:
De temos:
De temos:
Passo 6
Agora podemos encontrar:
Substituindo:
Passo 7
Vamos calcular :
Substituindo:
Passo 8
Vamos calcular :
Substituindo:
Passo 9
Vamos calcular :
Substituindo:
Passo 10
Vamos calcular :
Da EDO temos :
Substituindo:
Calculando a integral:
Passo 11
Vamos calcular :
Da EDO temos :
Substituindo:
Calculando a integral:
Passo 12
Vamos calcular :
Da EDO temos :
Substituindo:
Calculando a integral:
Encontramos:
Passo 13
Podemos então encontrar a solução particular:
Substituindo:
Ajeitando:
Passo 14
A solução geral vai ser:
Passo 15
Veja que a solução geral está definida para todo .