Equação de Euler de Ordem Superior
Teoria
Fala aí! Bora aprender como resolver uma Equação de Euler de Ordem Superior!? Então sem enrolação, ela tem essa carinha aqui:
Equação de Euler de Ordem Superior
Onde
O modo de resolver Equações de Euler de Ordem Superior é bem parecido com o método de Euler-Cauchy aplicado a EDO’s de 2ª ordem! Se você não conhece esse método, eu sugiro dar um pulinho lá e conferir, é como se aquele fosse o nível 1 e aqui a gente já dá uma avançadinha. Sacou? 😉
Como Resolver uma Equação de Euler de Ordem Superior
A gente vai aprender na prática! Se liga só nesse exemplo:
Temos uma EDO de 3ª ordem com
Agora a gente coloca a mão na massa!
Passo 1: Calcular as Derivadas
Pra começar, a gente vai pegar a solução geral proposta e derivar ela três vezes! Ficamos então, com:
Passo 2: Substituir as Derivadas na EDO
Agora a gente pega as derivadas que terminamos de calcular e substituímos nessa EDO aqui:
Vamos ficar com:
Passo 3: Manipular a Equação
Colocando o
Opa! Temos o produto de duas parcelas dando zero. Isso significa que ou uma delas é zero, ou a outra. Ajeitando:
Ficamos com:
Pode ser escrito assim:
Colocando
Passo 4: Calcular as Raízes
Finalmente podemos calcular as raízes! Temos então:
Logo:
E:
Temos então as raízes complexas:
Prontinho, temos as raízes! Agora é só escrever
Passo 5: Escrever
Lá em cima a gente supôs a solução
Para as raízes complexas a gente vai usar esse quadrinho de soluções para o método de Euler:
A solução que estamos intensados é para
Multiplicidade de uma Raiz
A multiplicidade de uma raiz é a quantidade de vezes que essa raiz aparece. Quando temos uma equação de grau
Vamos ver um exemplo:
Essa é uma equação é de ordem
Substituindo:
Resolvendo essa equação vamos achar:
Voltando para
Repara que temos uma equação de grau 4, e achamos 4 raízes:
Você pode reparar que
Raízes com Multiplicidade 1
Nesse caso temos uma raiz aparecendo apenas uma vez. Então, temos que ficar atentos só se essa raiz é complexa ou não. Se a raiz não for complexa a solução é da forma:
E se tivermos uma raiz complexa ela vai ser da forma:
Quando temos uma raiz complexa dessa forma podemos garantir que vamos ter uma outra raiz complexa que vai ser:
E a solução dessas duas juntas será:
Raízes com Multiplicidade maior que 1
Imagina que temos uma EDO com uma raiz
Adicionamos o logaritmo de
Solução geral
Agora vamos entender como é a solução geral dessa EDO! Cada raiz tem uma solução associada
Para achar cada uma dessas soluções, basta a gente prestar atenção na multiplicidade de cada raiz, que o problema sai tranquilo!
Agora vamos exercitar!!!
Multiplicidade de uma Raiz
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Denis G. Zill, Equações Diferenciais Volume I , 3ª ed. São Paulo: PEARSON Education do Brasil, 2007, pp. 284 - 19
Resolva a seguinte EDO:
Passo 1
Primeira coisa a ser feita é perceber que isso é uma equação de Euler. Então vamos supor a solução da forma:
Passo 2
Calculando as derivadas:
Passo 3
Substituindo na EDO temos:
Ajeitando:
Portanto, temos de resolver:
Passo 4
Como encontrar as raízes dessa equação??!
Vamos ver alguns candidatos a raízes dessa equação.
Qual o coeficiente do maior grau dessa equação? Neste caso vai ser , vamos chamar isso de
Qual o valor do cara sem a variável ? Vai ser , vamos chamar isso de
As possíveis raízes vão ser os divisores de sobre os divisores de , lembrando que para cada possibilidade vamos ter o cara podendo ser positivo ou negativo.
Nesse caso, os divisores de são: .Os divisores de são . Logo as possíveis raízes são:
Passo 5
Então temos que testar essas raízes na equação, como fazemos isso? É só substituir o valor na equação e ver se vai dar , se der o valor de é raiz, se não der ele não é raiz.
Testando cada um desses números, verificamos que são raízes. Tivemos sorte, porque apenas procurando entre esses valores já encontramos todas as raízes da equação. Caso encontrássemos apenas uma raiz, o próximo passo seria utilizar o método de briot-ruffini para encontrar as outras raízes.
Enfim temos as raízes:
Passo 6
Como as raízes são distintas a solução fica:
Resposta
Exercício Resolvido #2
Denis G. Zill, Equações Diferenciais Volume I , 3ª ed. São Paulo: PEARSON Education do Brasil ltda., 2007, pp. 284 - 22
Resolva a seguinte EDO:
Passo 1
Primeira coisa a ser feita é perceber que isso é uma equação de Euler. Então vamos supor a solução da forma:
Passo 2
Calculando as derivadas:
Passo 3
Substituindo na EDO temos:
Ajeitando:
Fazendo as contas vai ficar:
Temos de resolver:
Passo 4
Perceba que essa equação é o mesmo que:
Portanto as raízes são:
Passo 5
As raízes são complexas, então vamos pergar o primeiro conjugado delas, ou seja e :
A solução referente a e seria:
Porém essa solução já existe, então temos que multiplicá-la por
Fica assim:
Passo 6
Logo a solução geral da EDO será: