Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 4.4 - Ex. 16
16. Encontre uma fórmula envolvendo integrais para uma solução particular da equação diferencial
Se = , determine .
Passo 1
Fala Galera!!
Para resolver essa questão, vamos começar pegando a equação ordinária dada no problema:
A equação homogênea correspondente é a seguinte:
Pensando nela, a nossa equação característica, terá o seguinte formato:
Dessa forma, temos então que as raízes da homogênea associada são:
Passo 2
Aqui, Temos então que a que as raízes da equação característica são , e . Assim, vemos que , e são as soluções da equação homogênea. Portanto, a solução para a homogênea associada é:
Passo 3
Precisamos agora encontrar uma solução particular para a para a equação diferencial fornecida, para isso, podemos usar o método de variação dos parâmetros. Assim, a solução específica é dada por:
Em que é a função da equação ordinária depois da igualdade na equação diferencial dado no começo, vem do determinante da matriz dos coeficientes
e é obtido desubstituindo a m-ésima coluna pela coluna
Passo 4
Vamos agora calcular . Assim temos:
Pare encontrar o determinante, vamos realizar duas operações que não mudam o determinante, mas fica mais simples de calcular. Assim temos:
Passo 5
Vamos agora calcular , para isso pegamos a matriz acima e trocamos a coluna 1 por . Assim temos:
Passo 6
Vamos agora calcular , para isso pegamos a matriz acima e trocamos a coluna 2 por . Assim temos:
Passo 7
Vamos agora calcular , para isso pegamos a matriz acima e trocamos a coluna 3 por . Assim temos:
Passo 8
Agora, vamos calcular a solução particular. Assim temos:
Passo 9
Portanto, uma fórmula envolvendo integrais para uma solução particular da equação diferencial é:
Passo 10
Agora, vamos substituir na expressão acima para encontrar a solução particular. Assim temos:
Passo 11
Portanto, a solução particular da equação diferencial é: