15. Encontre uma fórmula envolvendo integrais para uma solução particular da equação diferencial y 4 - y = g ( t ) Sugestão: As funções sen ⁡ t , cos ⁡ t , senh ⁡ t e cosh ⁡ t formam um conjunto fundamental de soluções para a equação homogênea.

Y P t = 1 2 ∫ t 0 t senh ⁡ t - s - sen ⁡ t - s g s d s

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 4.4 - Ex. 15

15. Encontre uma fórmula envolvendo integrais para uma solução particular da equação diferencial

Sugestão: As funções , , e formam um conjunto fundamental de soluções para a equação homogênea.

Passo 1

Fala Galera!!

Para resolver essa questão, vamos começar pegando a equação ordinária dada no problema:

A equação homogênea correspondente é a seguinte:

Foi dito no enunciado que , , e formam um conjunto fundamental de soluções para a equação homogênea. Portanto, a solução para a homogênea associada é:

Passo 2

Precisamos agora encontrar uma solução particular para a para a equação diferencial fornecida, para isso, podemos usar o método de variação dos parâmetros. Assim, a solução específica é dada por:

Em que é a função da equação ordinária depois da igualdade na equação diferencial dado no começo, vem do determinante da matriz dos coeficientes

e é obtido desubstituindo a m-ésima coluna pela coluna

Passo 3

Vamos agora calcular . Assim temos:

Pare encontrar o determinante, podemos usar o teorema de Laplace, mas antes vamos realizar duas operações que não mudam o determinante, mas fica mais simples de calcular. Assim temos:

Por Laplace:

Passo 4

Vamos agora calcular , para isso pegamos a matriz acima e trocamos a coluna 1 por . Assim temos:

Por Laplace:

Passo 5

Vamos agora calcular , para isso pegamos a matriz acima e trocamos a coluna 2 por . Assim temos:

Utilizando o mesmo processo feito acima, temos que o determinante da matriz acima é:

Passo 6

Vamos agora calcular , para isso pegamos a matriz acima e trocamos a coluna 3 por . Assim temos:

Utilizando o mesmo processo feito acima, temos que o determinante da matriz acima é:

Passo 7

Vamos agora calcular , para isso pegamos a matriz acima e trocamos a coluna 3 por . Assim temos:

Utilizando o mesmo processo feito acima, temos que o determinante da matriz acima é:

Passo 8

Agora, vamos calcular a solução particular. Assim temos:

Usando as identidades apropriadas, as integrais podem ser combinadas para obter:

Passo 9

Portanto, uma fórmula envolvendo integrais para uma solução particular da equação diferencial é:

Resposta

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Em cada um dos problemas de 1 a 6, use o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral da equação diferencial dada.1. y ' ' ' + y ' = tan ⁡ t , - π 2tπ 2

Em cada um dos problemas de 1 a 6, use o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral da equação diferencial dada.2. y ' ' ' - y ' = t

Em cada um dos problemas de 1 a 6, use o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral da equação diferencial dada.5. y ' ' ' - y ' ' + y ' - y = e - t sen ⁡ t

Em cada um dos Problemas 7 e 8, encontre a solução geral da equação diferencial dada. Deixe sua resposta em função de uma ou mais integrais.8. y ' ' ' - y ' = csc ⁡ t0tπ

Em cada um dos problemas de 1 a 6, use o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral da equação diferencial dada.3. y ' ' ' - 2 y ' ' - y ' + 2 y = e 4 t