Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 4.4 - Ex. 17
17. Encontre uma fórmula envolvendo integrais para uma solução particular da equação diferencial
Sugestão: Verifique se , e são soluções da equação homogênea.
Passo 1
Fala Galera!!
Foi-nos dados a seguinte a equação diferencial:
O objetivo é encontrar a fórmula da equação diferencial dada e usar as soluções , e .
Passo 2
Para resolver esse problema, vamos começar provando que , e são soluções da equação diferencial dada.
Para , temos
Substituindo os termos encontrados na homogenia associada à equação diferencial dada, temos:
Portanto, é uma solução da homogenia associada à equação diferencial.
Passo 3
Para , temos
Substituindo os termos encontrados na homogenia associada à equação diferencial dada, temos:
Portanto, é uma solução da homogenia associada à equação diferencial.
Passo 4
Para , temos
Substituindo os termos encontrados na homogenia associada à equação diferencial dada, temos:
Portanto, é uma solução da homogenia associada à equação diferencial.
Temos então que , e são as soluções da equação diferencial homogênea dada.
Passo 5
Precisamos agora encontrar uma solução particular para a para a equação diferencial fornecida, para isso, podemos usar o método de variação dos parâmetros. Assim, a solução específica é dada por:
Em que é a função da equação ordinária depois da igualdade na equação diferencial dado no começo, vem do determinante da matriz dos coeficientes
e é obtido desubstituindo a m-ésima coluna pela coluna
Passo 6
Vamos agora calcular . Assim temos:
Assim, as soluções formam um conjunto fundamental de soluções.
Passo 7
Vamos agora calcular , para isso pegamos a matriz acima e trocamos a coluna 1 por . Assim temos:
Passo 8
Vamos agora calcular , para isso pegamos a matriz acima e trocamos a coluna 2 por . Assim temos:
Passo 9
Vamos agora calcular , para isso pegamos a matriz acima e trocamos a coluna 3 por . Assim temos:
Passo 10
Agora, vamos encontrar a solução partícula da equação diferencial fornecida. A solução particular da equação diferencial homogênea usando a variação do parâmetro é a seguinte:
Passo 11
Portanto, uma fórmula envolvendo integrais para uma solução particular da equação diferencial é: