17. Encontre uma fórmula envolvendo integrais para uma solução particular da equação diferencial

Sugestão: Verifique se , e são soluções da equação homogênea.

Para resolver esse problema, vamos começar provando que , e são soluções da equação diferencial dada.

Para , temos

Substituindo os termos encontrados na homogenia associada à equação diferencial dada, temos:

Portanto, é uma solução da homogenia associada à equação diferencial.

Para , temos

Substituindo os termos encontrados na homogenia associada à equação diferencial dada, temos:

Portanto, é uma solução da homogenia associada à equação diferencial.

Para , temos

Substituindo os termos encontrados na homogenia associada à equação diferencial dada, temos:

Portanto, é uma solução da homogenia associada à equação diferencial.

Temos então que  , e são as soluções da equação diferencial homogênea dada.

Precisamos agora encontrar uma solução particular para a para a equação diferencial fornecida, para isso, podemos usar o método de variação dos parâmetros. Assim, a solução específica é dada por:

Em que é a função da equação ordinária depois da igualdade na equação diferencial dado no começo, vem do determinante da matriz dos coeficientes

e é obtido desubstituindo a m-ésima coluna pela coluna

Vamos agora calcular . Assim temos:

Assim, as soluções  formam um conjunto fundamental de soluções.

Vamos agora calcular , para isso pegamos a matriz acima e trocamos a coluna 1 por . Assim temos:

Vamos agora calcular , para isso pegamos a matriz acima e trocamos a coluna 2 por . Assim temos:

Vamos agora calcular , para isso pegamos a matriz acima e trocamos a coluna 3 por . Assim temos:

Agora, vamos encontrar a solução partícula da equação diferencial fornecida. A solução particular da equação diferencial homogênea usando a variação do parâmetro é a seguinte:

Portanto, uma fórmula envolvendo integrais para uma solução particular da equação diferencial é: