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Derivadas Parciais de Ordem Superior

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Teoria

Como calcular?

As derivadas parciais, assim como as derivadas normais, também podem ser derivadas quantas vezes quisermos: são as derivadas parciais de ordem superior.

Assim, se a derivada parcial de primeira ordem de uma função f ( x , y ) em relação a x for

∂ f ∂ x = f x = y + 2 x

Eu posso derivá-la de novo em relação a x e encontrar a derivada parcial de segunda ordem:

∂ 2 f ∂ x 2 = ∂ ∂ x ∂ f ∂ x = f x x = 2

Mas, eu posso querer derivar a derivada parcial em relação a x , em relação a y também. Aí eu vou encontrar a derivada parcial mista:

∂ 2 f ∂ y ∂ x = ∂ ∂ y ∂ f ∂ x = f x y = 1

O mesmo ocorre para a derivada parcial em relação a y .

Digamos que a derivada parcial de primeira ordem em relação a y seja

∂ f ∂ y = f y = x + 2 y

Então a derivada parcial de segunda ordem em relação a y será

∂ 2 f ∂ y 2 = ∂ ∂ y ∂ f ∂ y = f y y = 2

E a derivada parcial mista de segunda ordem em relação a x será

∂ 2 f ∂ x ∂ y = ∂ ∂ x ∂ f ∂ y = f y x = 1

Sacou?

Mas pera aê, repara só uma coisa:

∂ 2 f ∂ y ∂ x = ∂ 2 f ∂ x ∂ y = 1

Será uma coincidência?

Na verdade, não!

Isso (quase) sempre vai acontecer!

Só não vai acontecer em casos muuuuito particulares, quando as derivadas parciais de segunda ordem não forem continuas em algum ponto. Nesse caso, as derivadas parciais mistas só não serão iguais apenas nesse ponto.

Beleza?

Agora imagine que eu tenha essa função

f x , y = x   l n   x y  

E queira achar a derivada parcial mista dela.

O que você acha que é melhor? Derivar primeiro em relação a x e depois em relação a y ou o contrário?

Pensa comigo: se derivarmos primeiro em relação a x , vamos logo de cara ter que usar uma regra do produto aí, né? E isso dá um certo trabalhinho e de trabalhos a gente já tá cheio, não é mesmo? Rsrs

Agora, se a gente derivar primeiro em relação a y , x vai ser uma constante e vamos só ter que fazer uma derivação com uma regrinha da cadeia simples com o l n l n   x y   . Bem melhor, né?

Então vai ficar assim:

∂ f ∂ y = x . 1 x y . x = x y

Agora, quando formos fazer a derivada em relação a x dessa derivada em relação a y também fica fácil:

∂ 2 f ∂ x ∂ y = ∂ ∂ x ∂ f ∂ y = ∂ ∂ x x y = 1 y

Pegou a ideia?

Sempre que tivermos que fazer a derivadas parciais mistas, como elas são iguais, é mais rápido derivar primeiro em relação a variável cuja derivação é mais simples, ou seja, que não envolve regra do produto, do quociente, nem regras da cadeia mais complexas.

Show?!

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Apostila de Cálculo II, W. Bianchini, seção 5.5, Exemplo 5.14, página 81

Determine as derivadas parciais de primeira e segunda ordem de

z = f x , y = x 3 + 2 y 3 + 3 x 2 y 2

Passo 1

Calculando ∂ f ∂ x :

∂ f ∂ x = 3 x 2 + 0 + 3 2 x y 2

⇒ ∂ f ∂ x = 3 x 2 + 6 x y 2

Passo 2

Calculando ∂ f ∂ y :

∂ f ∂ y = 0 + 2 3 y 2 + 3 x 2 ( 2 y )

⇒ ∂ f ∂ y = 6 y 2 + 6 x 2 y

Passo 3

Calculando ∂ 2 f ∂ x 2 :

∂ 2 f ∂ x 2 = ∂ ∂ x ∂ f ∂ x

⇒ ∂ 2 f ∂ x 2 = ∂ ∂ x 3 x 2 + 6 x y 2

⇒ ∂ 2 f ∂ x 2 = 3 2 x + 6 1 y 2

⇒ ∂ 2 f ∂ x 2 = 6 x + 6 y 2

Passo 4

Calculando ∂ 2 f ∂ y 2 :

∂ 2 f ∂ y 2 = ∂ ∂ y ∂ f ∂ y

⇒ ∂ 2 f ∂ y 2 = ∂ ∂ y 6 y 2 + 6 x 2 y

⇒ ∂ 2 f ∂ y 2 = 6 2 y + 6 x 2 ( 1 )

⇒ ∂ 2 f ∂ y 2 = 12 y + 6 x 2

Passo 5

Calculando ∂ 2 f ∂ x ∂ y :

∂ 2 f ∂ x ∂ y = ∂ ∂ x ∂ f ∂ y

⇒ ∂ 2 f ∂ x ∂ y = ∂ ∂ x 6 y 2 + 6 x 2 y

⇒ ∂ 2 f ∂ x ∂ y = 0 + 6 2 x y

⇒ ∂ 2 f ∂ x ∂ y = 12 x y

De maneira alternativa, também podemos calcular

∂ 2 f ∂ y ∂ x = ∂ ∂ y ∂ f ∂ x

⇒ ∂ 2 f ∂ y ∂ x = ∂ ∂ y 3 x 2 + 6 x y 2

⇒ ∂ 2 f ∂ y ∂ x = 0 + 6 x ( 2 y )

⇒ ∂ 2 f ∂ y ∂ x = 12 x y

Perceba que o resultado é o mesmo!

Resposta

∂ f ∂ x = 3 x 2 + 6 x y 2

∂ f ∂ y = 6 y 2 + 6 x 2 y

∂ 2 f ∂ x 2 = 6 x + 6 y 2

∂ 2 f ∂ y 2 = 12 y + 6 x 2

∂ 2 f ∂ x ∂ y = 12 x y

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Determine as derivadas parciais de primeira ordem e a derivada mista de segunda ordem da função:

f x , y = e x y + x ln ⁡ y 2

Passo 1

Calculando ∂ f ∂ x :

∂ f ∂ x = e x y ⋅ 1 y + 1 ⋅ ln ⁡ y 2

⇒ ∂ f ∂ x = 1 y e x y + ln ⁡ y 2

Passo 2

Calculando ∂ f ∂ y :

Aplicando a Regra da cadeia:

∂ f ∂ y = e x y ⋅ ∂ ∂ y x y + x ⋅ 1 y 2 ⋅ ∂ ∂ y y 2

∂ f ∂ y = e x y ⋅ - x y 2 + x ⋅ 1 y 2 ⋅ 2 y

∂ f ∂ y = - x y 2 e x y + 2 x y y 2

⇒ ∂ f ∂ y = - x y 2 e x y + 2 x y

Passo 3

Calculando ∂ 2 f ∂ x ∂ y :

∂ 2 f ∂ x ∂ y = ∂ ∂ x ∂ f ∂ y = ∂ ∂ x - x y 2 e x y + 2 x y

∂ 2 f ∂ x ∂ y = - 1 y 2 ⋅ e x y + - x y 2 ⋅ e x y ⋅ 1 y ⏟ REGRA DO PRODUTO + 2 y

∂ 2 f ∂ x ∂ y = - 1 y 2 e x y + x y e x y + 2 y

⇒ ∂ 2 f ∂ x ∂ y = - 1 y 2 e x y 1 + x y + 2 y

Passo 4

De maneira alternativa, podemos também calcular a derivada mista da seguinte maneira:

∂ 2 f ∂ y ∂ x = ∂ ∂ y ∂ f ∂ x = ∂ ∂ y 1 y e x y + ln ⁡ y 2

∂ 2 f ∂ y ∂ x = - 1 y 2 ⋅ e x y + 1 y ⋅ e x y ⋅ - x y 2 ⏟ REGRA DO PRODUTO + 1 y 2 ⋅ 2 y

∂ 2 f ∂ y ∂ x = - 1 y 2 e x y + x y e x y + 2 y

⇒ ∂ 2 f ∂ y ∂ x = - 1 y 2 e x y 1 + x y + 2 y

Como esperado, o resultado é o mesmo!

Resposta

∂ f ∂ x = 1 y e x y + ln ⁡ y 2

∂ f ∂ y = - x y 2 e x y + 2 x y

∂ 2 f ∂ y ∂ x = - 1 y 2 e x y 1 + x y + 2 y

Exercício Resolvido #3

George B. Thomas, Cálculo,Volume II,11º ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, pg. 319, exercício 75.

Dada f uma função diferenciável de u e u = a ( x + c t ) , onde a é uma constante.

Mostre que a função w = f ( u ) é solução da equação de onda w t t = c 2 w x x

Passo 1

Vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem de w em relação a t e em relação a x e vamos ver se atende a equação da onda.

Começando por w t t :

w t = ∂ w ∂ t = ∂ f ∂ u . ∂ u ∂ t = ∂ f ∂ u . ( a c )

w t t = ∂ w ∂ t ∂ w ∂ t = ∂ w ∂ t ∂ f ∂ u . a c = a c ∂ 2 f ∂ u 2 . a c = a ² c ² ∂ 2 f ∂ u 2

*OBS.: f é uma função composta, então tivemos que usar a regra da cadeia.

Passo 2

Agora vamos calcular w x x

w x = ∂ w ∂ x = ∂ f ∂ u . ∂ u ∂ x = ∂ f ∂ u . ( a )

w x x = ∂ w ∂ x ∂ w ∂ x = ∂ w ∂ x ∂ f ∂ u . a = a ∂ 2 f ∂ u 2 . a = a ² ∂ 2 f ∂ u 2

OBS.: também tivemos que usar a regra da cadeia ;)

Passo 3

Agora vamos substituir na equação da onda e ver se deu tudo certo:

w t t = c 2 w x x

a ² c ² ∂ 2 f ∂ u 2 = c 2 a ² ∂ 2 f ∂ u 2

Como ambos os lados da equação são iguais, então w é solução da equação de onda. 👍😁

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercício Resolvido #4

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009,p.127, exercício 7

Se

f x , y = x y e x y

Mostre que

x ∂ 3 f ∂ x 3 + y ∂ 3 f ∂ y ∂ x 2 = 0

Passo 1

Vamos calcular essas derivadas ai e vê se esse negócio da zero mesmo.

Começando por ∂ 3 f ∂ x 3 .

∂ 3 f ∂ x 3 = ∂ f ∂ x ∂ f ∂ x ∂ f ∂ x

Entendeu?

Temos que derivar três vezes em relação a x :

∂ f ∂ x = y e x y + x y e x y 1 y = y e x y + x e x y  

Passo 2

Agora, derivando de novo:

∂ f ∂ x ∂ f ∂ x = ∂ f ∂ x y e x y + x e x y = y e x y 1 y + e x y + x e x y 1 y = 2 e x y + x y e x y

Passo 3

Agora, deriando mais uma vez:

∂ f ∂ x ∂ f ∂ x ∂ f ∂ x = ∂ f ∂ x 2 e x y + x y e x y 2 e x y 1 y + 1 y   e x y + x y e x y 1 y = 3 y e x y + x y 2 e x y

Então

∂ 3 f ∂ x 3 = 3 y e x y + x y 2 e x y

Beleza, vamos guardar isso.

Passo 4

Agora vamos calcular ∂ 3 f ∂ y ∂ x 2

∂ 3 f ∂ y ∂ x 2 = ∂ f ∂ y ∂ f ∂ x ∂ f ∂ x

A ∂ f ∂ x ∂ f ∂ x nós já calculamos:

∂ f ∂ x ∂ f ∂ x = 2 e x y + x y e x y

Agora só precisamos derivá-la em relação a y :

∂ f ∂ y ∂ f ∂ x ∂ f ∂ x = ∂ f ∂ y 2 e x y + x y e x y = 2 e x y - x y 2 - x y 2 e x y + x y e x y   - x y 2

∂ f ∂ y ∂ f ∂ x ∂ f ∂ x = - 3 x y 2 e x y - x 2 y 3 e x y

Então

∂ 3 f ∂ y ∂ x 2 = - 3 x y 2 e x y - x 2 y 3 e x y

Passo 5

-

Agora vamos substituir na equação que o problema nos deu e vê se deu certo:

x ∂ 3 f ∂ x 3 + y ∂ 3 f ∂ y ∂ x 2

x 3 y e x y + x y 2 e x y + y - 3 x y 2 e x y - x 2 y 3 e x y = e x y 3 x y + x 2 y 2 + e x y - 3 x y - x 2 y 2 = 0

Show! Deu tudo certo, então, tá ai a prova que a questão queria

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercício Resolvido #5

UNICAMP, Cálculo 2, P1 2014 Manhã, questão 2, item a

Sejam f , g : R → R funções diferenciáveis. Mostre que u x , t = f x + a t + g x - a t , em que a ≠ 0 , satisfaz a equação de onda u t t = a 2 u x x .

Passo 1

Que questão confusa... Bom, se ele deu u , que é uma função de x e t , e chega numa parada que tem a segunda derivada de u em relação a x e em relação a t , então parece uma boa ideia começar calculando essas derivadas, seja lá o que formos fazer com elas...

Então vamos lá, derivada de u em relação a x :

u x , t = f x + a t + g x - a t

u x x , t = ∂ f x + a t ∂ x   . ∂ x ∂ x + ∂ g x - a t ∂ x   . ∂ x ∂ x

E isso foi nada mais do que aplicar a regra da cadeia :D coloquei o d x d x só pra não parecer muito passo voodoo, mas na real sabemos que a derivada de x em relação a x é 1!

Agora fazemos a mesma coisa, derivando em relação a x de novo:

u x x x , t = ∂ ∂ x ∂ f x + a t ∂ x   . 1 + ∂ ∂ x ∂ g x - a t ∂ x   . 1

u x x x , t = f ' ' x + a t + g ' ' x - a t

Passo 2

Beleza, agora vamos encontrar as outras derivadas parciais, em relação a t :

u x , t = f x + a t + g x - a t

u t x , t = ∂ f x + a t ∂ t   . a + ∂ g x - a t ∂ t   . ( - a )

u t x , t = a f ' x + a t - a g ' x - a t

E como a derivada de a t em relação a t é a ,

u t x , t = a f ' x + a t - g ' x - a t

E derivando novamente,

u t t x , t = a f ' ' x + a t a - g ' ' x - a t ( - a )

u t t x , t = a 2 f ' ' x + a t   + g ' ' x - a t

Passo 3

Bom, se tivermos derivado certo, o que ele disse no enunciado tem que valer! Então vamos ver, se pegamos as derivadas parciais em relação a x e em relação a t , devemos verificar que:

u t t = a 2 u x x

Bom, temos que:

u t t x , t = a 2 f ' ' x + a t   + g ' ' x - a t

E temos que:

u x x x , t = f ' ' x + a t + g ' ' x - a t

Então, substituindo:

u t t = a 2 u x x

a 2 f ' ' x + a t   + g ' ' x - a t = a 2 f ' ' x + a t + g ' ' x - a t

Então, mostramos que satisfaz.

Resposta

  a 2 u x x x , t   = a 2 f ' ' x + a t + g ' ' x - a t = u t t x , t

Exercício Resolvido #6

UNICAMP, Cálculo 2, P1 2014 Noite, questão 2, item b

Sabendo que z = s i n   x + s i n   y     , mostre que

δ z δ x δ 2 z δ x δ y = δ z δ y δ 2 z δ x 2

Passo 1

Vamos lá, só pensar pedaço por pedaço que a coisa fica menos assustadora. Veja que temos δ z δ x , δ z δ y , δ 2 z δ x 2 , δ 2 z δ x δ y . Ou seja, temos que encontrar essas derivadas aí e, se derivarmos certinho, essa relação maluca aí do enunciado deve valer :D

Começando pelas primeiras derivadas, temos o seguinte:

z = s i n   x + s i n   y    

δ z δ x = c o s   (   x + s i n   y   ) . 1

Ou seja, a derivada do seno, vezes a derivada do argumento em relação a x .

Passo 2

Derivando agora a função z em relação a y , teremos:

z = s i n   x + s i n   y    

δ z δ y = c o s   (   x + s i n   y   ) . c o s   y  

Passo 3

Pegando a derivada em relação a x e derivando de novo em relação a x , obtemos:

δ z δ x = c o s   (   x + s i n   y   ) . 1

δ 2 z δ x 2 = - s i n   x + s i n   y     . 1

Show, agora já está quase tudo pronto!

Passo 4

Vamos pegar a derivada em relação a y e derivar em relação a x . Aí teremos:

δ z δ y = c o s   (   x + s i n   y   ) . c o s   y  

δ 2 z δ x δ y = -   s i n (   x + s i n   y   ) . c o s   y  

Bem tranquilinho :D Só derivar tratando a outra variável como constante, e fica que nem em cálculo 1 !

Passo 5

Pronto! Agora só por questões burocráticas vamos garantir que derivamos tudo certinho e mostrar pro avaliador que essa relação que eles deram no enunciado é realmente verdade ;)

δ z δ x δ 2 z δ x δ y = δ z δ y δ 2 z δ x 2

E encontramos que:

δ z δ x = c o s   (   x + s i n   y   )

δ z δ y = c o s   (   x + s i n   y   ) .   c o s   y  

δ 2 z δ x 2 = - s i n   x + s i n   y    

δ 2 z δ x δ y = -   s i n (   x + s i n   y   ) .   c o s   y  

Colocando esses valores na fórmula que deram, teremos:

c o s   (   x + s i n   y   ) . [ -   s i n (   x + s i n   y   ) .   c o s   y ]   = c o s   (   x + s i n   y   ) . c o s   y   . [ - s i n   x + s i n   y   ]  

E de fato, vemos que um lado é a mesma coisa que o outro!

Resposta

δ z δ x δ 2 z δ x δ y = δ z δ y δ 2 z δ x 2

c o s   (   x + s i n   y   ) . [ -   s i n (   x + s i n   y   ) .   c o s   y ]   = c o s   (   x + s i n   y   ) . c o s   y   . [ - s i n   x + s i n   y   ]  

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