Teoria

Fala aí! Vamos aprender vetor gradiente com o RespondeAí?

Então vamo que vamo!

Para uma dada função, seja de uma, duas, três ou variáveis independentes, podemos calcular para um dado ponto o que chamamos de vetor gradiente.

Tá, mas afinal o que é um vetor gradiente?!

O vetor gradiente é um vetor normal à curva de nível no ponto e indica a direção e sentido que deverá ser deslocada, a partir do ponto especificado, para que haja o maior incremento na grandeza medida.

Parece meio confuso, não é mesmo? Mas fica tranquilo, o que você precisa saber mesmo é como obter esse vetor.

Saber isso vai ser muito importante quando a gente for aprender sobre derivada direcional! Mas um problema de cada vez, agora a gente quer aprender sobre vetor gradiente! 🤣 Então se liga nesse vídeo super completo 👇

Ou vem comigo no textinho, pra descobrir como calcular o vetor gradiente!

Como Calcular o Vetor Gradiente?

Digamos que temos uma função de duas variáveis: . O vetor gradiente de é dado por :

Vamos pegar um exemplo:

Para encontrarmos o vetor gradiente precisamos achar as derivadas parciais em relação a e a .

Então, o vetor gradiente será:

E se a questão pede o vetor gradiente em um ponto específico, como ? Basta substituir o ponto que foi dado:

Graficamente, nós temos o seguinte:

Curva de nível e vetor gradiente no ponto P exemplificado
Curva de nível e vetor gradiente no ponto P exemplificado

Como Calcular um Vetor gradiente em Funções de Várias Variáveis?

Usando a mesma lógica, nós conseguimos calcular o vetor gradiente de funções de várias variáveis, a única coisa que muda é que o vetor terá mais componentes.

Por exemplo, para uma função de três variáveis, , o vetor gradiente será dado por:

E assim por diante...

Propriedades do Vetor Gradiente

Agora, é importante eu apresentar para você algumas propriedades do vetor gradiente que facilitam bastante a vida.

Sejam e funções cujo gradientes são, respectivamente:

E uma constante qualquer, podemos definir as seguintes propriedades:

A parada é que essas propriedades nos ajudam a calcular gradientes de funções que a gente nem conhece a expressão, a partir de gradientes que a gente conhece!

Ou seja, a gente não precisa saber as expressões da , nem da . A gente só precisa saber quem são seus gradientes. Show de bola, né?

Agora você já está fera! Só precisamos praticar com exercícios!😆 💪🏾

Como Calcular o Vetor Gradiente?

Propriedades do Vetor Gradiente

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