Plano tangente e Curva de Nível
Teoria
Imagina que você tem a seguinte questão:
Seja , uma parametrização para a curva de nível de de , onde é uma função de e .
Determine o plano tangente a que passa no ponto que está na curva, e no ponto que está no plano mas não na curva.
Ai jzuiss, tendi nada ?! Relaxa que vou explicar bem devagar pra você entender direitinho!
A questão te da:
- Uma função sem definição
- A parametrização de uma curva de nível de
E pede:
- O plano tangente ao gráfico da função
Vamos comerçar pelo final, a equação do plano tangente a uma superfície num ponto da superfície é:
Onde
Assim
Mas isso não parece ajudar em muita coisa né? Repara que para acharmos o plano tangente, vamos precisar basicamente do e do gradiente.
Como vamos relacionar o gradiente com a curva de nível que ele deu? Vamos começar lembrando que é perpendicular ao plano tangente, e que é o ponto do plano que pertence a curva .
Assim, naquela questão aqui de cima, vamos ter que o ponto que ele quer é , mas falta uma componente ne? cadê o ? Repara que ele disse que era uma parametrização para a curva de nível em , opa, pera. Curva de nível é
Com e sendo os pontos da curva de nível
Mas
Achamos o bedito
Nosso ponto é
Falta agora achar o gradiente, aqui é um pouco pior. Vamos pensar com calma, temos
E conseguimos fazer isso na nossa curva
Usando a regra da cadeia, vamos ter
Ali temos que achar a derivada de
Assim, vamos ter
Repara que esse é a própria curva de nível, assim
Esse resultado não é geral, temos que achar para cada questão, aqui demos sorte rs. Mas vamos focar nos passos para conseguir fazer esse tipo de questão.
Continuando a nossa conta, vamos ter
Basicamente falta achar para aquele ponto , vamos igualar o ponto a
Assim,
E vamos ter
Agora é que as coisas ficam diferentes para cada questão, ele pode te dar varias informações para sair dessa relação, aqui ele deu outro ponto do plano,
Trocando o ponto vamos achar
Assim achamos o nosso plano, repara que fizemos basicamente
As outras informações vamos tirar de cara questão. Partiu exercício.
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
USP, Cálculo 2, P2 2013, questão 3
Seja o plano tangente ao gráfico de uma função em um ponto . Seja uma parametrização para a curva de nível de e suponha que para algum . Determine uma equação para o plano sabendo que ele contém os pontos .
Passo 1
Muita coisa no enunciado, né? Vamos pegar o que interessa pra ficar mais fácil de montar alguma estratégia:
- Temos uma função
- Temos uma curva de nível de ,
E temos que encontrar um plano tangente a que passe pelos pontos .
Parece pouco, mas vamos destrinchar cada detalhe e ver o que podemos fazer com isso!
Passo 2
Bom, se essa curva é curva de nível de , então, obviamente, ela está contida em . Tá, e daí? E daí que podemos escrever que, para todo ponto e parâmetro correspondente ,
Sabe por que? Porque o vetor gradiente é perpendicular à superfície formada por , e representa um vetor tangente a curva , que, por sua vez, está na superfície de ! Então, como o vetor perpendicular à superfície é perpendicular a outro que seja tangente a ela, e o produto escalar entre vetores perpendiculares é , a equação ali de cima sempre vale!
Passo 3
Então vamos calcular o tal :
Simples, só derivar cada componente!
E jogando na equação do passo ,
Passo 4
Resolvendo a equação
Não teremos uma resposta agradável, porque além de não sabemos quem é , ficaremos sem saber quem são e (as componentes do vetor gradiente).
Então, vamos usar um “truque”. Da mesma forma que o produto escalar entre vetores perpendiculares vale , temos, para vetores colineares, que um é múltiplo do outro. Faz sentido né? Então, vamos rotacionar em o vetor , e depois equacionar ele e o gradiente dizendo que são múltiplos um do outro.
O que fizemos foi trocar as coordenadas de lugar e multiplicar a segunda por . Se não lembra disse de Álgebra Linear, dá uma olhadinha rápida que é bem simples! Mas se não quiser fazer isso agora, apenas grave na cabeça: Para rotacionar um vetor em , troca as coordenadas de lugar e multiplica a segunda por .
E agora, podemos dizer que esse novo vetor é múltiplo do vetor gradiente! Assim,
Passo 5
Beleza, agora que temos essa última equação, podemos encontrar as derivadas parciais em função de e !
Veja só:
E temos, então,
Passo 6
E agora, o que fazemos com essas derivadas parciais? Jogamos na equação do plano! Sim, temos as derivada parciais em função de duas incógnitas, e . Mas temos também dois pontos, dados pelo enunciado. Assim, teremos um sistema de duas equações e duas incógnitas! Dito isto, vamos à equação do plano:
Sendo que sabemos, pelo enunciado, que , e, sendo , temos que e . Além disso, como o nível da curva é , ou seja, a curva tem altura constante igual a , . Colocando essa informações na equação, e as derivadas parciais que encontramos, teremos:
Passo 7
Legal, agora só falta substituir os pontos e resolver o sistema! Tendo os pontos , e colocando esses valores para , e da equação do plano, teremos:
Se fizermos a de baixo menos a de cima, teremos:
Passo 8
Jogando esse valor de na primeira equação, teremos:
Multiplicando por :
Resolvendo por Bhaskara:
Finalmente!! Encontramos o valor de e de !
Passo 9
Colocando esses valores na equação do plano, teremos:
Resposta
A equação do plano é:
Exercício Resolvido #2
USP, Cálculo 2, P2 2014, questão 2
Seja uma função diferenciável e considere dada por:
Seja a reta tangente à curva de nível de no ponto . Sabendo que a imagem de está contida no gráfico de e que a reta passa pelo ponto , determine:
- O vetor gradiente de no ponto
- A equação do plano tangente ao gráfico de no ponto .
Passo 1
a)Organizando tudo o que temos:
- Uma função não especificada (sabemos que tem duas variáveis, porque é de );
- Uma curva que está contida na superfície formada por ;
- E uma reta, que sabemos que é tangente à curva de nível no ponto e também passa pelo ponto .
E, com essas informações, temos que encontrar o vetor gradiente de no ponto .
Passo 2
Agora vamos botar a mão na massa!
Temos dois pontos por onde a reta passa, certo? Então vamos encontrar um vetor diretor dela, fazendo a diferença entre os pontos!
Passo 3
Como o gradiente da função é dado pelo vetor normal à superfície, temos, por consequência, que ele é perpendicular a esse vetor encontrado(porque o nosso é tangente à superfície)!
Assim, se a gente rotacionar o vetor que encontramos em 90 graus, ele será paralelo ao vetor gradiente, e ficará na mesma linha, conseguiu enxergar? Assim, vamos pegar o vetor , e fazer:
Lembra de Álgebra Linear? Se não, dá uma olhadinha na teoria que essa parte é bem simples, basicamente, se queremos rodar em um vetor no sentido anti-horário, invertemos as coordenadas e multiplicamos a segunda por .
E, finalmente, agora que o vetor e o são colineares, podemos escrever para o ponto :
Ou seja, um é múltiplo do outro. O valor de iremos descobrir mais tarde, antes temos que chegar a mais algumas conclusões...
Passo 4
Vamos agora dar uma olhada para a curva . Sabemos que ela está contida na superfície , certo? Então, podemos dizer que, se
E
Então,
Viu o que fizemos? A curva pega sempre o valor de um , e, com ele, forma um ponto de coordenadas. Já a superfície , com dois pontos dados (ou seja, o valor da primeira e segunda coordenada de ), gera um terceiro valor, que dará a coordenada do ponto.
E qual seria o valor do parâmetro , se a nossa curva de nível passa por (ou seja, nível 4)? Fácil, basta a gente resolver esse “sistema”:
Se temos essas duas equações, podemos dizer que:
Passo 5
E agora só precisamos de mais uma relação que envolva o a função e a curva , sabe qual? A regra da cadeia! Veja só, por ela teremos que:
Assim, como , , e , só precisamos calcular a derivada dessa curva para e resolver essa equação, pois a única incógnita será o !
Fazendo então a derivada:
Para
Passo 6
Agora, resolvendo a equação:
Usando , e ,
Para , teremos:
Passo 7
Beleza!!! Agora que temos o valor de , é só voltamos pra equação do vetor gradiente com o vetor diretor da reta:
Com
Passo 8
- Agora vamos encontrar a equação do plano tangete?
Como sabemos, é , porque a curva esse tempo todo tinha nível com parâmetro etc etc....
Agora que sabemos o vetor gradiente nesse ponto , basta usarmos a equação do plano tangente para esse vetor!
Passo 9
Do item , temos que e .
Colocando esses valores na equação,
E aí está a equação do plano!
Resposta
- Vetor gradiente é
- Plano tangente é
Exercício Resolvido #3
Plano Tangente e Reta Normal
Seja uma função diferenciável. Seja uma curva diferenciável tal que sua imagem está contida no gráfico de . A equação da reta tangente a em é com Determine e para que o plano de equação seja o plano tangente ao gráfico de em .
Passo 1
Essa é aquela típica questão que a gente não sabe muito bem por onde começar, de tanta informação. Mas já que o enunciado dá a equação da reta tangente em , podemos dar uma olhada em e ver no que dá:
E sabemos pelo enunciado que a imagem de está contida no gráfico de . Logo:
Ou seja:
Além disso, sabemos que a equação da reta tangente a em é:
; .
Se essa é a reta tangente em , então ela passa por né?
Pra equação ser respeitada, devemos ter:
Show!
Passo 2
Agora que sabemos isso, podemos focar melhor na questão do problema: o plano tangente ao gráfico de em
Primeiro, pra ficar mais claro, podemos passar o pra um lado e o pro outro, aí o plano fica assim:
A equação do plano tangente a uma superfície num ponto é:
onde é o vetor normal à superfície em .
Nesse exercício, é o ponto que achamos no Passo 1 certo? Ou seja, as duas equações do sistema abaixo são equivalentes!
Observação: na segunda linha são produtos escalares!
Digamos Assim:
Agora vamos dar uma olhada na lado direito do sistema:
Beleza, achamos uma equação de primeiro grau relacionando e , só mais uma dessas e lacramos a questão!
Passo 3
Podemos lembrar que a equação da reta tangente a em é .
Como , isso significa que o vetor diretor dessa reta tangente é paralelo ao plano tangente ao gráfico de nesse ponto. Esse plano, nós já sabemos que é:
Mas peraí, se o vetor é paralelo ao plano tangente, então ele é perpendicular ao vetor normal!
Assim, pelas propriedades do produto escalar:
Uhul! Achamos a segunda equação!
Passo 4
Agora é só resolver o sistema:
Subtraindo a segunda equação da primeiro, obtemos:
Agora ficou fácil! Da segunda equação podemos tirar que:
Resposta
Exercício Resolvido #4
Regra da Cadeia, Plano Tangente e Reta Normal
A função é diferenciável e Sabendo que o ponto pertence ao plano tangente ao gráfico de no ponto , determine e dê a equação do plano tangente.
Passo 1
Queremos achar esse plano tangente, e, no meio do caminho, precisaremos de , aí já matamos tudo de uma vez ;)
Vamos lá... Essa função que foi dada é do tipo:
Certo, uma função de duas variáveis. Sendo assim, podemos dizer que:
E, então, o vetor gradiente será do plano tangente será:
Até agora tranquilo?
Passo 2
Pegando o gradiente do passo anterior e o ponto de tangência, podemos escrever a equação geral para o plano como:
Ou seja, o produto vetorial entre o vetor normal e um vetor qualquer do plano é (pois são perpendiculares). Tomando o ponto como o ponto de tangência, temos:
Naturalmente, esse e são as derivadas no ponto que estamos tratando, para as duas primeiras variáveis e para .
Passo 3
Pegando a equação para o plano que acabamos de encontrar, podemos dizer que o ponto pertence a ele colocando-o na equação:
Ok, chegamos numa relação entre as derivadas parciais que formam o vetor gradiente!
Passo 4
Agora chegou a hora de usar a equação que nos foi dada. Ela é uma parametrização para por uma curva , certo? Então, pela regra da cadeia, temos que:
Como , e , temos:
Como queremos o gradiente para o ponto , precisamos colocar (para ter ). Assim, teremos:
E chegamos em outra relação entre e !
Passo 5
Agora que temos duas relações que envolvem as duas derivadas parciais no ponto , basta resolver o sistema:
somando as duas, temos que
Substituindo esse valor na primeira, temos:
E, portanto, o vetor gradiente é:
E, só pra não criar um passo a mais pra colocar esse resultado na equação do plano, temos:
E é isso aí :D
Resposta
Exercício Resolvido #5
Curvas Parametrizadas, Derivadas Parciais e o Vetor Gradiente, Regra da Cadeia, Interseção de Superfícies
Seja uma função diferenciável que satisfaz
- A imagem da curva está contida no gráfico de .
- , .
Considere, ainda, o ponto .
a) Determine e dê uma equação para a reta tangente à curva em .
b) Calcule e dê a equação do plano tangente ao gráfico de em .
c) A superfície intercepta o gráfico de em uma curva que contém . Determine uma equação para a reta tangente à curva no ponto .
Passo 1
a) Vamos lá, pra começar bem, vamos logo descobrir o valor de ? Para isso, vamos usar:
E basta fazer , temos que:
Show! Beleza?
Passo 2
Beleza, agora vamos para a reta tangente na curva ! Se a equação dessa curva é:
Então, colocando , temos o ponto , veja só:
E olha aí! De quebra já confirmamos que o que fizemos no passo anterior está realmente certo, , que é a terceira coordenada do ponto !
Passo 3
Beleza, agora que temos o valor que deve assumir para termos o ponto , vamos encontrar o vetor diretor da reta tangente?
Basta derivar a curva :
Colocando , o vetor derivada no ponto fica:
Passo 4
Agora que temos o ponto e o vetor diretor da reta, podemos jogar na equação paramétrica dela! Fica:
Substituindo o ponto e o vetor diretor,
E aí está a equação! Partiu letra !
Passo 5
b) Tá... para encontrarmos o plano tangente, precisamos encontrar o vetor gradiente, e, para encontrar esse vetor, precisamos encontrar as derivadas parciais em relação a e , show? Mas o enunciado deu apenas duas curvas que pertencem à nossa função, e não a função em si, certo? O que isso te lembra? Regra da cadeia!!!
Olha a equação dela aí:
temos duas curvas, logo, podemos fazer duas regras da cadeia, e montar um sistema para encontrar as duas derivadas!
Passo 6
A curva é uma outra forma de dizer que, dada a primeira coordenada, , como e a segunda, , como , teremos o valor da função na terceira coordenada, . Ou seja:
Então, aplicando a regra da cadeia, pela equação do passo anterior, teremos:
Neste caso, envolve apenas as duas coordenadas da derivada de . Colocando essas derivadas, que já calculamos,
Fazendo, agora (pois estamos no ponto ) e o produto escalar,
E aí está a primeira equação que envolve e no ponto !
Passo 7
Agora vamos fazer exatamente a mesma coisa com a outra curva que foi dada! No caso, ela é:
Como a própria equação informa, é uma curva de nível, no caso, nível ! Assim, quando derivarmos em relação a , vai dar !
Aplicando a regra da cadeia:
Neste caso, , basta derivar cada coordenada de ;)
Como vimos no primeiro passo, para termos o ponto , devemos colocar nesta parametrização. O mesmo vale agora!
E, daí, temos que:
Opa! Acabamos de encontrar o valor da primeira derivada em relação a !
Passo 8
Jogando esse valor na equação do passo , quando derivamos a curva , teremos:
E, assim, o vetor gradiente fica:
E é isso aí! Vetor gradiente encontrado, partiu encontrar o plano tangente!
Passo 9
Estamos aqui com um vetor gradiente que tem apenas duas coordenadas... Isso aconteceu pois a função tem apenas duas variáveis. Nestes casos, temos que fazer:
E, assim, montamos um função de três variáveis,
Beleza? E, assim, o vetor gradiente de será:
Ou seja, sempre que fizermos que , teremos a terceira coordenada do gradiente igual a ! Enfim, acrescentando essa coordenada ao vetor encontrado no passo anterior, teremos:
E, agora que temos o gradiente com as devidas coordenadas e o ponto e tangência do plano, podemos jogar na fórmula do plano tangente!
Fazendo os produtos escalares, teremos:
Passo 10
c) Finalmente! Chegou na última! Vamos lá, firmeza que dá pra fechar sem muito esforço :D
Resumindo a história: tínhamos a superfície da função , e, agora, interceptamos ela com a outra superfície do enunciado. Isso gerou uma curva que contém o ponto e nossa missão é encontrar a reta tangente a ela nesse ponto!
Aí você pensa: Ahh essa é fácil! Basta encontrar a curva de interseção, parametrizar, derivar, substituir o ponto na derivada, e jogar na fórmula! Não, não quando se está na USP XD Esse processo que você acabou de ler sempre vai funcionar, é claro, mas, estatisticamente falando, você só vai usá-lo quando já te dão a curva parametrizada.
Quando você tem uma situação como essa nossa agora, é muito mais negócio fazer o seguinte: Essa curva é uma curva de interseção, logo, está simultaneamente em ambas as superfícies. Assim, para o ponto em questão, temos que os vetores gradientes das superfícies são, ambos, normais à curva de interseção (pois são normais às superfícies).Logo, se fizermos o produto vetorial entre eles, o resultado será um vetor que é normal à ambos, e teremos o vetor tangente à curva, que é o vetor que é normal, ao mesmo tempo, a um vetor gradiente e ao outro!
Passo 11
Sei que ficou um tarolo nada convidativo para ser lido no passo anterior, desculpa XD Se não tiver ficado claro, aperta o botão vermelho no canto superior da tela e manda uma mensagem!
Enfim, aplicando o que acabamos de dizer, teremos que:
O gradiente de no ponto , já temos, vale ! Agora falta encontrar o gradiente da outra superfície neste mesmo ponto!
Se ela é:
Então,
E, assim, o gradiente fica:
Que, para o ponto , vale:
Passo 12
Vamos lá, agora é pegar esses vetores e colocar no determinante do produto vetorial:
Show! Agora que temos o vetor diretor e o ponto de tangência, basta colocar na equação da reta!
E aí fechamos a questão :D
Resposta
a)
b) e o plano tangente é
c)