Reta Tangente à Interseção de Superfícies

Produzido por Bruno Neres
Ver Todos os Exercícios

Teoria

Como calcular?

O raciocínio que a gente tem que ter aqui é o seguinte: a curva de interseção pertence, simultaneamente, às duas superfícies. Então, seu vetor tangente, ou seja, o vetor na direção da curva de interseção, tem que ser, ao mesmo tempo, perpendicular aos vetores normais às duas superfícies. E esses vetores normais às superfícies são os vetores gradientes.

Então tudo o que temos que fazer é:

  1. Calcular o vetor gradiente da superfície S 1 : ∇ F 1 P 0 = n 1 →
  2. Calcular o vetor gradiente da superfície S 2 : ∇ F 2 P 0 = n 2 →
  3. Fazer o produto vetorial entre esses dois vetores para encontrar um vetor na direção da reta: v → = n 1 → × n 2 →
  4. Substituir na equação da reta: r t = P 0 + v → t

Sacou?

Então me diz a equação da reta tangente a curva de interseção entre a superfície S 1 dada por x 2 + y 2 - 2 = 0 e a superfície S 2 dada por x + z - 4 = 0 no ponto P 0 = ( 1,1 , 3 ) .

Para calcular o vetor gradiente da superfície S 1 e S 2 , jogamos tudo para o lado esquerdo e chamamos de F 1 ( x , y , z ) e F 2 ( x , y , z ) , respectivamente. Assim, temos:

F 1 ( x , y , z ) = x 2 + y 2

⇒   ∇ F 1 = 2 x , 2 y , 0

⇒   ∇ F 1 1,1 , 3 = n 1 → = 2 1 , 2 1 , 0 = ( 2,2 , 0 )

E

F 2 x , y , z = x + z

⇒   ∇ F 2 = 1,0 , 1

⇒   ∇ F 2 1,1 , 3 = n 2 → = ( 1,0 , 1 )

Encontramos o vetor na direção da reta fazendo o produto vetorial entre n 1 → e n → 2 :

v → = n 1 → × n 2 →

v → = i j k 2 2 0 1 0 1 = 2   i + 0 j + 0   k - 2   k - 0   i - 2   j = ( 2 , - 2 , - 2 )

Agora é só substituir na equação da reta

r t = P 0 + v → t

r t = 1,1 , 3 + 2 , - 2 , - 2 t

r t = ( 1 + 2 t ,   1 - 2 t ,   3 - 2 t )

Exercícios de Livros Relacionados