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Reta Tangente à Interseção de Superfícies

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Teoria

Como calcular?

O raciocínio que a gente tem que ter aqui é o seguinte: a curva de interseção pertence, simultaneamente, às duas superfícies. Então, seu vetor tangente, ou seja, o vetor na direção da curva de interseção, tem que ser, ao mesmo tempo, perpendicular aos vetores normais às duas superfícies. E esses vetores normais às superfícies são os vetores gradientes.

Então tudo o que temos que fazer é:

  1. Calcular o vetor gradiente da superfície S 1 : ∇ F 1 P 0 = n 1 →
  2. Calcular o vetor gradiente da superfície S 2 : ∇ F 2 P 0 = n 2 →
  3. Fazer o produto vetorial entre esses dois vetores para encontrar um vetor na direção da reta: v → = n 1 → × n 2 →
  4. Substituir na equação da reta: r t = P 0 + v → t

Sacou?

Então me diz a equação da reta tangente a curva de interseção entre a superfície S 1 dada por x 2 + y 2 - 2 = 0 e a superfície S 2 dada por x + z - 4 = 0 no ponto P 0 = ( 1,1 , 3 ) .

Para calcular o vetor gradiente da superfície S 1 e S 2 , jogamos tudo para o lado esquerdo e chamamos de F 1 ( x , y , z ) e F 2 ( x , y , z ) , respectivamente. Assim, temos:

F 1 ( x , y , z ) = x 2 + y 2

⇒   ∇ F 1 = 2 x , 2 y , 0

⇒   ∇ F 1 1,1 , 3 = n 1 → = 2 1 , 2 1 , 0 = ( 2,2 , 0 )

E

F 2 x , y , z = x + z

⇒   ∇ F 2 = 1,0 , 1

⇒   ∇ F 2 1,1 , 3 = n 2 → = ( 1,0 , 1 )

Encontramos o vetor na direção da reta fazendo o produto vetorial entre n 1 → e n → 2 :

v → = n 1 → × n 2 →

v → = i j k 2 2 0 1 0 1 = 2   i + 0 j + 0   k - 2   k - 0   i - 2   j = ( 2 , - 2 , - 2 )

Agora é só substituir na equação da reta

r t = P 0 + v → t

r t = 1,1 , 3 + 2 , - 2 , - 2 t

r t = ( 1 + 2 t ,   1 - 2 t ,   3 - 2 t )

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Sejam S 1 e S 2 as superfícies definidas por x 2 - y 2 + z 2 = 1 e x y + x z = 2 , respectivamente.

  1. Determine a equação do plano tangente a S 1 em 1,1 , 1 .
  2. Determine equações da reta tangente à curva de interseção de S 1 e S 2 em 1,1 , 1

Passo 1

a )

O ponto P 0 é conhecido e dado pelo problema:

P 0 = 1,1 , 1

Passo 2

Calculando gradiente:

Caso seja necessário, substituir f ( x , y ) por z na equação da superfície:

Não é necessário! Próximo passo!

Passo 3

Jogar tudo para o lado esquerdo na equação da superfície e deixar zero no lado direito:

x 2 - y 2 + z 2 = 1

⇒ x 2 - y 2 + z 2 - 1 = 0

Passo 4

Chamar de F x , y , z a expressão deixada no lado esquerdo da equação:

F x , y , z = x 2 - y 2 + z 2 - 1

Passo 5

Calcular gradiente de F :

∇ F x , y , z = 2 x , - 2 y , 2 z

Passo 6

Calcular gradiente de F no ponto P 0 :

∇ F P 0 = ∇ F 1,1 , 1

⇒ ∇ F P 0 = 2.1 , - 2.1,2.1

∇ F P 0 = 2 , - 2,2

Passo 7

O vetor normal será n → 1 = ∇ F P 0 :

n → 1 = 2 , - 2,2

Vamos dividir por 2 para os números ficarem menores

n → 1 = 1 , - 1,1

Passo 8

Equação do plano:

x , y , z ⋅ n → = P 0 ⋅   n →

⇒ x , y , z ⋅ 1 , - 1,1 = 1,1 , 1 ⋅ 1 , - 1,1

⇒ 1 x - 1 y + 1 z = 1 1 + 1 - 1 + 1 1

⇒ x - y + z = 1

Passo 9

b )

Para achar a reta tangente a curva de interseção, devemos achar um vetor v → tangente a essa curva.

Repara que o vetor normal à S 1 é perpendicular a esse vetor v → e o vetor normal à S 2 também é perpendicular a esse vetor v → . Isso acontece porque o vetor v → pertence ao plano tangente tanto à S 1 quanto à S 2 , já que ele é tangente à curva formada pela interseção dos dois.

Então o vetor v → vai ser o produto vetorial entre os vetores normais ao paraboloide e ao elipsoide

Passo 10

Já temos um dos vetores normais, falta acharmos o outro vetor normal, dessa vez a curva S 2

O ponto P 0 é conhecido e dado pelo problema:

P 0 = 1,1 , 1

Passo 11

Calculando gradiente:

Caso seja necessário, substituir f ( x , y ) por z na equação da superfície:

Não é necessário! Próximo passo!

Passo 12

Jogar tudo para o lado esquerdo na equação da superfície e deixar zero no lado direito:

x y + x z = 2

⇒ x y + x z - 2 = 0

Passo 13

Chamar de F x , y , z a expressão deixada no lado esquerdo da equação:

F x , y , z = x y + x z - 2

Passo 14

Calcular gradiente de F :

∇ F x , y , z = y + z , x , x

Passo 15

Calcular gradiente de F no ponto P 0 :

∇ F P 0 = ∇ F 1,1 , 1

⇒ ∇ F P 0 = 1 + 1,1 , 1

∇ F P 0 = 2,1 , 1

Passo 16

O vetor normal será n → 2 = ∇ F P 0 :

n → 2 = 2,1 , 1

Passo 17

Vamos agora achar o vetor v →

v → = n → 1 × n → 2

v → = - 2,1 , 3

Para que fizemos isso tudo? Porque precisávamos achar o vetor tangente a curva de interseção de S 1 com S 2 .

A reta tangente vai ser

r t = P 0 + t v →

r t = 1,1 , 1 + t - 2,1 , 3

r t = 1 - 2 t , 1 + t , 1 + 3 t

Resposta

  1. x - y + z = 1
  2. r t = 1 - 2 t , 1 + t , 1 + 3 t

Exercício Resolvido #2

UFF, Cálculo 2B, Professor Sérgio Almaraz, P1 2011.2, questão 4.

Considere a função

F x , y , z = x 2 + y 2 - z 2

  1. Esboce a superfície de nível S dada por F x , y , z = - 4
  2. Determine a equação do plano tangente a S no ponto P = 1,2 , 3 , na forma a x + b y + c z + d = 0
  3. Considere a função g x , y derivável em 1,2 e satisfazendo g 1,2 = 3 , ∂ g ∂ x 1,2 = 1 e ∂ g ∂ y 1,2 = 0 . Determine a equação paramétrica (na forma a 1 t + b 1 , a 2 t + b 2 , a 3 t + b 3 , t ∈ R ) da reta tangente À interseção de S com o gráfico de g no ponto P .

Passo 1

a )

A superfície de nível S é

x 2 + y 2 - z 2 = - 4

Então podemos fazer:

z 2 - x 2 - y 2 = 4

Se fizermos x = 0 :

z 2 - y 2 = 4

z 2 4 - y 2 4 = 1

Que é uma hipérbole no plano y z .

Se fizermos y = 0 :

z 2 - x 2 = 4

z 2 4 - x 2 4 = 1

Que também é uma hipérbole, só que no plano x z .

Para interseções com planos z = k , onde k é uma constante, temos:

- x 2 - y 2 = 4 - k ²

x 2 + y 2 = k 2 - 4

Ou seja, temos circunferências nos planos z = k , aonde o raio vai ser: r = k 2 - 4

Mas, temos que lembrar que o termo dentro da raiz tem restrição:

k 2 - 4 > 0

k > 2   e   k < - 2

Ou seja, para todos os planos z = k , com k > 2   o u   k < - 2 teremos uma circunferência.

Para k = ± 2 , teremos um ponto na origem.

Passo 2

b )

A superfície S é dada por

x 2 + y 2 - z 2 = 4

A primeira coisa do nosso passo a passo é:

Caso seja necessário, substituir f ( x , y ) por z na equação da superfície:

Não é necessário! Próximo passo!

Passo 3

Jogar tudo para o lado esquerdo da equação:

x 2 + y 2 - z 2 - 4 = 0

Passo 4

Chamar de F x , y , z a expressão deixada no lado esquerdo da equação:

F x , y , z = x 2 + y 2 - z 2 - 4

Passo 5

Calcular gradiente de F :

∇ F x , y , z = 2 x , 2 y , - 2 z

Passo 6

Calcular gradiente de F no ponto P 0 :

P 0 = 1,2 , 3

∇ F P 0 = ∇ F 1,2 , 3

⇒ ∇ F P 0 = 2.1,2.2 , - 2.3

∇ F P 0 = 2,4 , - 6

Passo 7

O vetor normal será n → = ∇ F P 0 :

n → = 2,4 , - 6

Passo 8

Equação do plano:

x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 ⋅ n → = 0

⇒ x - 1 , y - 2 , z - 3 ⋅ 2,4 , - 6 = 0

⇒ 2 x + 4 y - 6 z = 1 2 + 4 2 + 3 - 6

⇒ 2 x + 4 y - 6 z = 2 + 8 - 18 = - 8

Nosso plano tangente é, então:

2 x + 4 y - 6 z = - 8

Passo 9

c )

A reta tangente a curva de interseção das duas superfícies tem seu vetor diretor perpendicular simultaneamente aos vetores normais a S 1 e S 2 .

Esses vetores normais são os vetores gradientes.

Da superfície S 1 a gente já achou:

∇ F 1 1,2 , 3 = n 1 → = 2,4 , - 6

Passo 10

Agora para a superfície S 2 .

S 2 é o gráfico da função z = g ( x , y ) .

Para calcular o vetor normal a essa superfície no ponto P 0 = ( x 0 , y 0 , g ( x 0 , y 0 ) , vamos primeiro jogar tudo para o lado esquerdo da equação e deixar o lado direito igual a zero:

g x , y - z = 0

Passo 11

Agora vamos chamar de F x , y , z a expressão deixada no lado esquerdo da equação:

F x , y , z = g x , y - z

Passo 12

Calcular gradiente de F :

∇ F x , y , z = ∂ F ∂ x , ∂ F ∂ y , ∂ F ∂ z = ∂ g ∂ x , ∂ g ∂ y , - 1

Passo 13

Calcular gradiente de F no ponto P 0 :

P 0 = ( x 0 , y 0 , f ( x 0 , y 0 )

P 0 = ( 1,2 , g 1,2 )

∇ F P 0 = ∇ F 1,2 , 3

∇ F 1,2 , 3 = ∂ g ∂ x ( 1,2 ) , ∂ g ∂ y ( 1,2 ) , - 1

∇ F 1,2 , 3 = ( 1,0 , - 1 )

Pois esses valores a questão já deu pra gente, certo?

Então, o vetor normal a superfície S 2 é:

∇ F 2 1,2 , 3 = n 2 → = ( 1,0 , - 1 )

Passo 14

O vetor diretor da nossa reta tangente será o produto vetorial entre esses dois vetores, pois ele precisa ser perpendicular a eles dois, ao mesmo tempo.

n 1 → = 2,4 , - 6

n 2 → = ( 1,0 , - 1 )

v → = n → 1 × n → 2

v → = i j k 2 4 - 6 1 0 - 1 = - 4   i - 6   j + 0   k - 4   k + 0   i + 2   j = ( - 4 , - 4 , - 4 )

Passo 15

Assim, nossa reta tangente está na direção do vetor

v → = ( - 4 , - 4 , - 4 )

E passa pelo ponto

P 0 = 1,2 , 3

Então, ela pode ser parametrizada por:

r t = P 0 + v → t

r t = 1,2 , 3 + ( - 4 , - 4 , - 4 ) t

r t = ( 1 - 4 t , 2 - 4 t , 3 - 4 t )

Resposta

  1. Superfície
  2. Plano: 2 x + 4 y - 6 z + 8 = 0
  3. r t = ( 1 - 4 t , 2 - 4 t , 3 - 4 t )

Exercício Resolvido #3

UFF, Cálculo 2B, Professor Sérgio Almaraz, P1 2013.2, questão 3.

Considere as funções F : R 3 → R e f : R 2 → R satisfazendo

F x , y , z = x 2 - y + z 2

f 1,2 = 1

∂ f ∂ x 1,2 = 3

∂ f ∂ y 1,2 = 5

Seja S 1 o gráfico de f e seja S 2 a superfície de nível de F dada pela equação F x , y , z = 0

  1. Determine a equação do plano tangente a S 1 no ponto 1,2 , 1 , na forma a x + b y + c z + d = 0
  2. Determine a equação paramétrica (na forma r t = a 1 + a 2 t , b 1 + b 2 t , c 1 + c 2 t ) da reta tangente a S 1 ∩ S 2 no ponto 1,2 , 1 .

Passo 1

a )

A superfície S 1 é o gráfico da função z = f ( x , y ) .

Para calcular o plano tangente a essa superfície no ponto P 0 = ( x 0 , y 0 , f ( x 0 , y 0 ) , vamos primeiro jogar tudo para o lado esquerdo da equação e deixar o lado direito igual a zero:

f x , y - z = 0

Passo 2

Agora vamos chamar de F x , y , z a expressão deixada no lado esquerdo da equação:

F x , y , z = f x , y - z

Passo 3

Calcular gradiente de F :

∇ F x , y , z = ∂ F ∂ x , ∂ F ∂ y , ∂ F ∂ z = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , - 1

Passo 4

Calcular gradiente de F no ponto P 0 :

P 0 = ( x 0 , y 0 , f ( x 0 , y 0 )

P 0 = ( 1 , 2 , f ( 1 , 2 )

∇ F P 0 = ∇ F 1,2 , 1

∇ F 1,2 , 1 = ∂ f ∂ x ( 1,2 ) , ∂ f ∂ y ( 1,2 ) , - 1

∇ F 1,2 , 1 = ( 3,5 , - 1 )

Pois esses valores a questão já deu pra gente, certo?

Passo 5

O vetor normal será n → 1 = ∇ F P 0 :

n → 1 = 3,5 , - 1

Passo 6

Agora é só substituir na equação do plano:

x , y , z ⋅ n → = P 0 ⋅   n →

⇒ x , y , z ⋅ 3,5 , - 1 = 1 , 2 , 1 ⋅ 3,5 , - 1

⇒ 3 x + 5 y - 1 z = 1 3 + 2 5 + 1 - 1

3 x + 5 y - z = 3 + 10 - 1 = 12

Assim, a equação do plano tangente a superfície S 1 é

3 x + 5 y - z - 12 = 0

Passo 7

b )

A reta tangente a curva de interseção das duas superfícies tem seu vetor diretor perpendicular simultaneamente aos vetores normais a S 1 e S 2 .

Esses vetores normais são os vetores gradientes.

Da superfície S 1 a gente já achou:

∇ F 1 1,2 , 1 = n 1 → = ( 3,5 , - 1 )

Agora para a superfície S 2

F 2 x , y , z = x 2 - y + z 2

∇ F 2 x , y , z = 2 x , - 1,2 z

∇ F 2 1,2 , 1 = n 2 → = ( 2 , - 1,2 )

Passo 8

O vetor diretor da nossa reta tangente será o produto vetorial entre esses dois vetores, pois ele precisa ser perpendicular a eles dois, ao mesmo tempo.

v → = n → 1 × n → 2

v → = i j k 3 5 - 1 2 - 1 2 = 10   i - 2   j - 3   k - 10   k - 1   i - 6   j = ( 9 , - 8 , - 13 )

Passo 9

Assim, nossa reta tangente está na direção do vetor

v → = ( 9 , - 8 , - 13 )

E passa pelo ponto

P 0 = 1,2 , 1

Então, ela pode ser parametrizada por:

r t = P 0 + v → t

r t = 1,2 , 1 + ( 9 , - 8 , - 13 ) t

r t = ( 1 + 9 t , 2 - 8 t , 1 - 13 t )

Resposta

  1. Plano: 3 x + 5 y - z - 12 = 0
  2. r t = ( 1 + 9 t , 2 - 8 t , 1 - 13 t )

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que z = f ( x , y ) é uma função de classe C 1 , f 1,3 = - 1 , ∂ f ∂ x 1,3 = 4 e ∂ f ∂ y 1,3 = - 3 . Sabe-se que a curva σ t = t 2 , 4 t - 1 , z t , t ∈ R , está contida no gráfico da função z
Suponha que z = f ( x , y ) é uma função de classe C 1 , f 1,3 = - 1 , ∂ f ∂ x 1,3 = 4 e ∂ f ∂ y 1,3 = - 3 . Sabe-se que a curva σ t = t 2 , 4 t - 1 , z t , t ∈ R , está contida no gráfico da função z
Sejam S 1 e S 2 as superficies definidas por x 2 - y 2 + z 2 = 1 e x y + x z = 2 , respectivamente.Mostre que a reta tangente encontrada no item b ) é tangente à superficie de equação x y z - x 2 - 6
Sejam S 1 e S 2 as superficies definidas por x 2 - y 2 + z 2 = 1 e x y + x z = 2 , respectivamente.Determine equações da reta tangente à curva de interseção de S 1 e S 2 em ( 1,1 , 1 ) .
Nos Exercícios 13-18, encontre equações paramétricas para a reta tangente à curva de interseção das superfícies no ponto determinado S u p e r f i c i s : x + y 2 + z = 2 y = 1 Ponto: ( 1 / 2 , 1,1 /