Teoria

Plano Tangente

Para funções de uma variável, vimos que, se temos uma curva e derivamos essa curva num determinado ponto, podemos encontrar a reta tangente a essa curva nesse ponto.

Essa reta é aproximadamente igual ao gráfico da função nas proximidades desse ponto. Isso quer dizer que, a medida que vamos dando um zoom no gráfico da função próximo ao ponto de tangencia, a gente não consegue distinguir o que é o gráfico da função e o que é a reta tangente, porque eles são muuuuuuuuuito parecidos.

Agora, em funções de duas variáveis, o raciocínio é totalmente análogo! Basicamente vamos aumentar uma dimensão nas coisas que estamos trabalhando: a curva vai ser uma superfície e a reta tangente será um plano tangente.

Assim, o plano tangente se confunde com o gráfico da função ali pertinho do ponto de tangencia. Igualzinho tínhamos para a reta tangente. Dá uma olhada:

Boa! Agora que a gente já entendeu o que é um plano tangente, vamos aprender a calcular.

Como calcular?

Para calcularmos a equação do plano tangente a uma superfície, precisamos de duas coisas:

  1. um ponto do plano: P 0 = x 0 , y 0 , z 0
  2. um vetor normal ao plano: n →

Equação do plano:

x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 ⋅ n → = 0

Mas quem será que vai ser esse vetor normal?

Se ali pertinho do ponto de tangencia o plano e o gráfico da função são praticamente a mesma coisa e sabemos que o vetor gradiente é perpendicular ao gráfico da função, então, é de se esperar que o vetor gradiente também seja perpendicular ao plano tangente!

Então, o vetor normal ao plano tangente será o vetor gradiente!

n → = ∇ F ( P 0 )

Entao ficamos com

x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 ⋅ ∇ F ( P 0 ) = 0

E o nosso vetor gradiente é dado desse jeitinho aqui

∇ F P 0 = f x P 0 , f y P 0 , f z P 0

Entao ficamos com

f x P 0 x - x 0 + f y P 0 y - y 0 + f z P 0 z - z 0 = 0

Desse modo, por exemplo, para calcular o plano tangente ao gráfico da função

f x , y = 1 - x 2 - 2 y ²

no ponto

P 0 = ( 1,1 , - 2 )

Vamos seguir o passo a passo:

  1. Caso seja necessário, substituir f ( x , y ) por z na equação da superfície
  2. z = 1 - x 2 - 2 y 2

  3. Jogar todas as variáveis para o lado esquerdo da equação
  4. 0 = z + x 2 + 2 y 2 - 1

  5. Chamar de F x , y , z a expressão deixada no lado esquerdo da equação
  6. F x , y , z = z + x 2 + 2 y 2 - 1

  7. Calcular gradiente de F : ∇ F x , y , z = f x , f y , f z Vamos achar as derivadas parciais, ficando com:
  8. ∇ F x , y , z = 2 x , 4 y , 1

  9. Calcular gradiente de F no ponto P 0 : ∇ F P 0 = ∇ F x 0 , y 0 , z 0
  10. P 0 = 1,1 , - 2 → ∇ F P 0 = ( 2,4 , 1 )

  11. O vetor normal será n → = ∇ F P 0
  12. n → = 2,4 , 1

  13. Substituir na equação do plano:

f x P 0 x - x 0 + f y P 0 y - y 0 + f z P 0 z - z 0 = 0

2 x - 1 + 4 y - 1 + 1 z + 2 = 0

z + 2 + 2 x - 2 + 4 y - 4 = 0

2 x + 4 y + z = 4

Como calcular?

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