Plano Tangente
Produzido por Bruno NeresTeoria
Plano Tangente
Para funções de uma variável, vimos que, se temos uma curva e derivamos essa curva num determinado ponto, podemos encontrar a reta tangente a essa curva nesse ponto.
Essa reta é aproximadamente igual ao gráfico da função nas proximidades desse ponto. Isso quer dizer que, a medida que vamos dando um zoom no gráfico da função próximo ao ponto de tangencia, a gente não consegue distinguir o que é o gráfico da função e o que é a reta tangente, porque eles são muuuuuuuuuito parecidos.
Agora, em funções de duas variáveis, o raciocínio é totalmente análogo! Basicamente vamos aumentar uma dimensão nas coisas que estamos trabalhando: a curva vai ser uma superfície e a reta tangente será um plano tangente.
Assim, o plano tangente se confunde com o gráfico da função ali pertinho do ponto de tangencia. Igualzinho tínhamos para a reta tangente. Dá uma olhada:
Boa! Agora que a gente já entendeu o que é um plano tangente, vamos aprender a calcular.
Como calcular?
Para calcularmos a equação do plano tangente a uma superfície, precisamos de duas coisas:
- um ponto do plano:
- um vetor normal ao plano:
Equação do plano:
Mas quem será que vai ser esse vetor normal?
Se ali pertinho do ponto de tangencia o plano e o gráfico da função são praticamente a mesma coisa e sabemos que o vetor gradiente é perpendicular ao gráfico da função, então, é de se esperar que o vetor gradiente também seja perpendicular ao plano tangente!
Então, o vetor normal ao plano tangente será o vetor gradiente!
Entao ficamos com
E o nosso vetor gradiente é dado desse jeitinho aqui
Entao ficamos com
Desse modo, por exemplo, para calcular o plano tangente ao gráfico da função
no ponto
Vamos seguir o passo a passo:
- Caso seja necessário, substituir por na equação da superfície
- Jogar todas as variáveis para o lado esquerdo da equação
- Chamar de a expressão deixada no lado esquerdo da equação
- Calcular gradiente de : Vamos achar as derivadas parciais, ficando com:
- Calcular gradiente de no ponto :
- O vetor normal será
- Substituir na equação do plano: